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CHAPITRE XXXIII.
où
est une fonction de
Soit ensuite
(1)
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et enfin
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}'&={\sqrt {2x_{2}'}}\cos y_{2}',&\eta _{2}'&={\sqrt {2x_{2}'}}\sin y_{2}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9114b09e2fb5d172dfd1e8e809d872a63f717b8)
J’observe d’abord que la forme canonique des équations ne sera
pas altérée quand des variables
je passerai à
puis à
puis enfin à
Il me reste à choisir la fonction
Je sais que
est dans le domaine envisagé une fonction holomorphe de
Je
veux qu’elle reste fonction holomorphe des nouvelles variables
![{\displaystyle {\sqrt {2x_{i}'}}\cos y_{i}',\quad {\sqrt {2x_{i}'}}\sin y_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd25cd2138e3c3cddd9f1a9c227fc771638a4c41)
Pour cela je veux que les variables anciennes
soient
fonctions holomorphes des variables nouvelles
et de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
À cet effet, il nous suffira de supposer que
est fonction holomorphe de
![{\displaystyle {\sqrt {2x_{1}'}}\cos y_{1},\quad {\sqrt {2x_{1}'}}\sin y_{1},\quad \xi _{2}',\quad \eta _{2},\quad \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29afa69108d0823432de916c06e22a7270f408b5)
et est divisible par ![{\displaystyle x_{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd6975acba826257f4d4550bdb29205768b0fbb)
Je veux ensuite que pour notre solution périodique
on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&x_{1}'&=x_{1}^{0}=\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665ef50b256189503558ba303385cc1957932bbd)
Soient donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}&=\mathrm {A} ,&\eta _{2}&=\mathrm {B} ,&i_{1}&=\mathrm {C} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dfc916754368b18f3b31f2b3be02f6b75f9ebf)
les équations de la solution périodique ;
sont des fonctions
de
périodiques de période
et développables suivant
les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Alors
sera aussi une fonction périodique de
soit
sa valeur moyenne ; on pourra trouver une autre fonction
périodique
telle que
![{\displaystyle \mathrm {C} -{\frac {d\mathrm {A} }{dy_{1}}}\,\mathrm {B} =x_{1}^{0}+{\frac {d\alpha }{dy_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd24417d9fe8d138f898f3e4fe108819e6510429)