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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
Ce maximum correspond à un point double situé sur la
droite
ou plutôt à deux points doubles symétriques par
rapport à l’origine.
Mais il nous faut chercher combien nous trouvons de ces points
doubles pour une valeur donnée de la constante
l’équation (5)
nous donne
en fonction de
il faut en déduire
en fonction
de
Or les équations (4) et (5) peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {C} ,&{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e55f1893af87d207c8d0d1bc94718d5a0edf3c)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {C} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}{\frac {dk}{dx_{1}}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}{\frac {dk}{dx_{1}}},\\[0.75ex]{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dx_{1}^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dk\,dx_{1}}}{\frac {dk}{dx_{1}}}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe368c8519a254b6b896bb2599b68d37f6227f6)
Or on a, en négligeant les termes en
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}+{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdaa3492f9eac1a305e8ac4e5423edc0be0aacda)
d’où
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} '}{dk}}=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c826ef03307504720d081c9e90784dd6ac3c25)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dk\,dx_{1}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dx_{1}^{2}}}&=0\,;&{\frac {d^{2}\mathrm {F} '}{dx_{1}^{2}}}&={\frac {12}{(k-x_{1})^{4}}}=12\left({\frac {3}{8}}\right)^{\frac {4}{3}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23da79ea31f85fb5a1bce62c7652869495f80bc8)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dk}{dx_{1}}}&=1\,;&{\frac {d\mathrm {C} }{dx_{1}}}&=-1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d32e2ee3047b21e2427ab2ad995e5e47d395d3)
d’où il résulte que
est une fonction constamment décroissante
de ![{\displaystyle \mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709f95ceb98ef6f75abaf0fc2718cdca897e71f7)
Donc pour une valeur de
nous avons seulement au plus
un maximum, c’est-à-dire que nous avons au plus deux points
doubles symétriques l’un de l’autre par rapport à l’origine sur la
droite
Soit donc
la valeur de
qui satisfait à la double égalité
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} _{0}&={\frac {2}{k^{2}}}+{\frac {k}{2}}+\mu \alpha ,\\{\frac {4}{k^{3}}}-&{\frac {3}{2}}+\mu (\beta +\gamma )=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ce903b2bd0f7d2a2fa92c68e74ab6e268df0a0)