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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
Les équations canoniques admettent l’intégrale
![{\displaystyle x_{2}+2x_{1}=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2dc5ce26746bf073e83b24452e1e03afd3a1685)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} '={\frac {2}{(k-x_{1})^{2}}}+{\frac {k}{2}}-{\frac {3x_{1}}{2}}+\mu (a+bx_{1}+cx_{1}\cos \omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2186fc2a8427f0560cf09e3fa3eb46041ce0fc)
Avec l’approximation adoptée, nous pouvons remplacer
par
![{\displaystyle a_{0}-2x_{1}a_{0}',\quad b_{0},\quad c_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dc823fb67abcac6669ca21d7e9304f02f64765)
en désignant par
ce que deviennent
quand on y remplace
par ![{\displaystyle k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac)
Ainsi
![{\displaystyle \alpha =a_{0},\quad \beta =b_{0}-2a_{0}',\quad \gamma =c_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a96b8e7a9cdb401fcb84525fb2d2fe73f9bbe0f)
désignent des constantes dépendant de
et nous avons
![{\displaystyle \mathrm {F} '={\frac {2}{(k-x_{1})^{2}}}+{\frac {k}{2}}-{\frac {3x_{1}}{2}}+\mu (\alpha +\beta x_{1}+\gamma x_{1}\cos \omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ee09f6ff537097e9803a251274014997fd6ded)
Regardons
comme une constante ;
comme
les coordonnées rectangulaires d’un point dans un plan et construisons
la courbe
![{\displaystyle \mathrm {F} '=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3fc2676cdabce774ff9e845c9490ac35f79766)
désignant une seconde constante.
Cette courbe dépend ainsi des deux constantes
et
Si elle
présente un point double, ce point- double correspondra à une
solution périodique, qui sera stable si les deux tangentes au
point double sont imaginaires, et instable si les deux tangentes
sont réelles.
Observons que la courbe est symétrique par rapport aux deux
axes de coordonnées et que deux points doubles symétriques l’un
de l’autre par rapport à l’origine ne correspondent pas à deux
solutions périodiques véritablement distinctes.
Les points doubles ne peuvent se trouver que sur l’un des axes
de coordonnées, de telle sorte qu’on les trouvera tous en faisant
![{\displaystyle \omega =0,\quad \omega =\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dae71b2e936d047197ae4e942aee7ceeb663e64)
Si l’on fait
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {2}{k^{2}}}+{\frac {k}{2}}+\mu \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f9d5ac1a1f3b4cdb55247d5473175cd1fcf452)