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CHAPITRE XXII.
aux déterminants formés avec quatre des quantités
et les quantités
correspondantes.
Je continue, bien entendu, à supposer que
et
sont homogènes
et linéaires par rapport aux produits
On pourra donc déduire de l’expression (12) un invariant intégral
du quatrième ordre.
Il est à remarquer que cet invariant ne devient pas identiquement
nul quand on suppose
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}=\mathrm {F} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7ae18f3ab396f85be6de91f112865fc9fc0ab9)
L’expression (12), divisée par 2, se réduit alors à
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi \xi ')\,\mathrm {F} _{1}(\xi ''\xi ''')+\mathrm {F} _{1}(\xi \xi '')\,\mathrm {F} _{1}(\xi '''\xi ')+\mathrm {F} _{1}(\xi \xi ''')\,\mathrm {F} _{1}(\xi '\xi '').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588b63ed43635c8a5cf1579f644c2bf075ea3b48)
D’un invariant du deuxième ordre on peut donc toujours en
déduire un du quatrième ordre ; par le même procédé, on en
obtiendrait un du sixième ordre ; et, plus généralement, on en
obtiendrait un d’ordre
(
étant un nombre pair quelconque).
248.Soit, en général,
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1},\quad \int \mathrm {F} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28cce407caa5cf9c0b745917712e2474757eb20)
deux invariants quelconques des équations (1), le premier
d’ordre
le second d’ordre ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
Je suppose que
et
soient des fonctions linéaires et homogènes,
la première par rapport aux produits de
différentielles
la seconde par rapport aux produits de
différentielles.
Soient
![{\displaystyle \xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9314c2f415d391c9df99699745838b307fa956e2)
solutions des équations (2). Ces solutions satisferont au
système d’équations différentielles
(13)
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Soit alors
ce que devient
quand on y remplace chaque
produit de
différentielles par le déterminant correspondant
formé à l’aide des
solutions
![{\displaystyle \xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ead2eebfb38a75e7dc1be92232dafda3d5780a7)