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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
une boucle
infiniment peu différente de la boucle
et
ayant son point anguleux en
soient
et
deux arcs
de cette boucle.
De
et de
j’abaisse deux normales
et
sur
et sur
D’après un théorème bien connu, l’action le long de
depuis le point
jusqu’au point
sera égale à l’action le long
de
depuis le point
jusqu’à
On aura donc
![{\displaystyle \operatorname {action} (\mathrm {T} _{1}')=\operatorname {action} (\mathrm {T} ')+\operatorname {action} (\mathrm {M} _{1}\mathrm {P} )-\operatorname {action} (\mathrm {MQ} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d5af855bb85aa229562f88fed6bcd5121c4021)
ou
![{\displaystyle \operatorname {action} (\mathrm {T} _{1}')=\operatorname {action} (\mathrm {T} ')+\operatorname {action} (\mathrm {MM} _{1})(\cos \mathrm {CMA} -\cos \mathrm {BMQ} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73953f8ef44a860bec4e863b29ec826e7562e333)
ou enfin
![{\displaystyle \operatorname {action} (\mathrm {T} _{1}')<\operatorname {action} (\mathrm {T} '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259ea188030762c713e91ea3a3560eeb6e62552a)
ce qui est absurde, puisque
a été supposé correspondre au
minimum de l’action.
Si l’on supposait
![{\displaystyle \mathrm {CMA} <\mathrm {BMD} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7314609e75a5ba8a56da1a0e1c5d7bfcd7dad9)
on arriverait à la même absurdité en plaçant
à droite de ![{\displaystyle \mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1688d03c31d091e6090c3c8e5e0f47a4c2802191)
On doit donc supposer
![{\displaystyle \mathrm {CMA} =\mathrm {BMD} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cca044a9cb505608a13b1ecfef7bcafa4ac43c4)
c’est-à-dire que les deux arcs se raccordent.
Le même raisonnement est applicable au cas du maximum.
Chaque série de boucles contient donc au moins deux trajectoires fermées.
Chacune de ces trajectoires fermées fait
fois le tour
de
et coupe
en
points. Pour
d’entre eux, l’angle
analogue à
est positif et, pour les
autres, il est négatif ; et,
en effet, la courbe
étant fermée, doit couper
autant de
fois dans un sens que dans l’autre.
Donc, cette trajectoire fermée peut être regardée comme une
boucle de
manières différentes ; car nous pouvons regarder
l’un quelconque de nos
points d’intersection comme le point
anguleux ; pour
de ces manières, la boucle ainsi définie appartiendra
à la première série et pour les
autres à la seconde.
Parmi les boucles de chaque série, il y en a donc non pas deux,