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INVARIANTS INTÉGRAUX.
Les fonctions
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45dc905f7cbba7d52875939ae699bcafea1292a)
seront des intégrales du système (6).
L’expression
(11)
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sera une intégrale du système (7).
Il est aisé, d’autre part, de vérifier qu’elle sera linéaire et homogène
par rapport aux déterminants
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{lll}\xi _{i}&\xi _{i}'&\xi _{i}''\\\xi _{k}&\xi _{k}'&\xi _{k}''\\\xi _{l}&\xi _{l}'&\xi _{l}''\end{array}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354eefd1ad1a15abdb5f428588d6d0130a538350)
On pourra donc en déduire un invariant intégral du troisième ordre.
Soient maintenant
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acd7d3fc1c1fceca04836711a0898d662a21c3a)
deux invariants de deuxième ordre des équations (1).
Nous en déduirons deux intégrales des équations (6), à savoir
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf48b3733549b9c7882babe095105fe3f10a85e)
ce que je pourrai écrire, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi \xi '),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi \xi ').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5003c266067f8e7358ae5631d9ca6d80b35ee88d)
Alors l’expression
(12)
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sera une intégrale du système obtenu en adjoignant aux équations (7) les équations
![{\displaystyle {\frac {d\xi _{k}'''}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\xi _{i}'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c163b954abb3865ec12c63bd31a3b340c10fe57)
De plus, ce sera une fonction linéaire et homogène par rapport