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CHAPITRE XXXI.
Soient
et
les coordonnées du point
et
celles
de
Comme
passe par
et
et
par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=\varphi (z_{2}),&u_{1}&=\varphi (u_{2}),&\psi (z_{2})&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63e55c3499777bc80b1be79aa803ec2578c68d5)
La trajectoire
étant très voisine de
la fonction
sera
très petite ; je pourrai appeler
l’angle sous lequel les deux trajectoires
se coupent au point
ce sera cet angle qui définira la
trajectoire
alors la fonction
dépendra de l’angle
elle
sera très petite si, comme nous le supposons, cet angle
est
lui-même très petit, et elle s’annulera avec
.
La valeur de
(en désignant par
la dérivée de
) sera
de même signe que
Quant à
[si nous supposons
très
petit et si le système de coordonnées a été défini de telle sorte
que la fonction
soit uniforme, ce qui est toujours possible]
il est de même signe que
si
est un foyer d’ordre pair, et de
signe contraire si
est un foyer d’ordre impair.
Ce qui caractérise le cas qui nous occupe, c’est que
est
du même ordre que
et toujours du même signe.
Supposons par exemple que
soit positif.
Alors si le signe de
est tel que
soit positif, la
trajectoire
coupera
en un point
voisin du point
et moins
éloigné de
que le point
(en supposant
). Dans ce cas,
touche
avant
tandis que
touche
après
d’après
un raisonnement bien connu, l’action est plus grande (au moins
dans le mouvement absolu) quand on va de
en
en parcourant
que quand on va de
en
en suivant
Si le signe de
est tel que
soit négatif,
coupe
en un point
plus éloigné de
que
alors
touche
après
et
touche
avant
l’action, quand on va de
en
est plus grande le long de
que le long de
Les résultats seraient renversés si
était négatif ; mais en
tous cas parmi les trajectoires
voisines de
il y en a qui
coupent
près de
et au delà de
et d’autres qui coupent
près de
et en deçà de
Dans ce cas nous dirons que
est un foyer ordinaire.
Il ne peut pas arriver que
soit un point ordinaire de
et que
le contact soit d’ordre supérieur au premier.