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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
que
n’engendrent pas de solutions du second genre,
cela tient à la forme très particulière des équations (1). (Pour ces
solutions, les exposants caractéristiques sont toujours nuls.)
Considérons d’abord les solutions du premier genre, telles
que
Posons
la période
c’est-à-dire l’intégrale (3)
prise entre
et
sera développable suivant les puissances de
et de
et le terme tout connu se réduira à
![{\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {\mathrm {C} _{0}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2286923a019002b4c6a7193907ee6e7a361d13fa)
Donnons à
une valeur commensurable quelconque ; nous
aurons une solution périodique toutes les fois que nous aurons
![{\displaystyle \omega ={\frac {\pi }{\sqrt {\mathrm {C} _{0}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739c2d44af5c441737b3b07608b7c8b352b72f7b)
L’équation est satisfaite pour
et de cette équation
on pourra tirer
et par conséquent
en série procédant suivant
les puissances de
Les équations (2) nous donneront alors
et
développés suivant les puissances de
Ce sont les développements
du Chapitre III.
Passons aux solutions du second genre telles que
Posons
nous aurons
![{\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}}\int {\frac {dy_{1}}{2{\sqrt {{\overset {}{\varepsilon }}-\cos y_{1}}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/965d2e3986f1e9cc0b73cea5a51d7abc4afa71f6)
On voit que
est seulement fonction de
d’autre part,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}}&={\sqrt {{\overset {}{\varepsilon }}-\cos y_{1}}},&(\mathrm {A} -t){\sqrt {\overset {}{\mu }}}&=\int {\frac {dy_{1}}{2{\sqrt {{\overset {}{\varepsilon }}-\cos y_{1}}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2994d0b7a3ebe48530b0b30f01ad05dc23b9745f)
ce qui nous montre que
et
sont fonctions
de
et de
doublement périodiques par rapport
à
Ce sont donc aussi des fonctions de
et
de
puisque
est fonction de
si donc nous donnons
à
une valeur constante, commensurable avec
nous obtien-