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CHAPITRE XXX.
Pour savoir lequel de ces deux cas se réalise, examinons l’équation
qui lie
à
en nous bornant aux termes en
il viendra
(21)
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J’observe d’abord que
et
sont indépendants non
seulement de
mais de
il n’y a d’exception que pour
![{\displaystyle k+2=2,\,3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca93edbd88b58d65197492ca9dd2e752fe8916bf)
ou
![{\displaystyle \,4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52cbec3fffeb27ea4fd68ab3aafa9035578c3621)
Car, pour
les termes de la forme
![{\displaystyle e^{i(pt+qnt+q\varpi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febafd57f079ab4cc0c459982d55b3ab5a5f8b0a)
qui peuvent entrer dans le second membre de l’une des équations (21)
ne peuvent être indépendants de
que si
![{\displaystyle q=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482f679ed3ab0438b40d3948d9b5f5c2f413f84a)
puisque
ne peut dépasser 4 et que
doit être entier.
Ainsi les seconds membres des équations (21) sont des fonctions
linéaires et homogènes de
et
et les coefficients de
ces fonctions linéaires sont des constantes absolues indépendantes
de
.
Mais
doit être positif ; sans quoi
serait Imaginaire. Les
équations (21) jointes à l’inégalité
détermineront le signe
de
Je remarque seulement que ce signe ne dépend pas de
puisque les équations (21) n’en dépendent pas. Or, nous avons
vu que l’équation qui détermine
comporte deux solutions
réellement distinctes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=\varpi _{0},&\varpi &=\varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa6776432b07923d56ec0fc6555e867294fb2c4)
À chacune d’elles correspond une solution périodique qui sera
réelle si le signe de
est convenablement choisi, conformément
à ce qui précède. Le choix de ce signe ne dépendant pas de
ces deux solutions seront toutes deux réelles pour
et toutes
deux imaginaires pour
ou bien ce sera le contraire.
Il semble d’abord qu’à chaque solution de l’équation en
cor-