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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
En d’autres termes, nous aurons changé
en
![{\displaystyle \varpi +2\pi (nh-h').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5700a30ecbb6775c6ba80ca2ba12247dca853e)
Mais nous pouvons toujours choisir les entiers
et
de telle
façon que
![{\displaystyle nh-h'={\frac {1}{k+2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3294579f95761752df7e790c26e6c80d6a04ff)
On ne trouve donc pas une solution réellement nouvelle en
changeant
en
C. Q. F. D.
Nous n’avons donc que deux solutions réellement distinctes,
correspondant aux deux valeurs suivantes de
![{\displaystyle \varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c162f6c748aac248938f15e38de664a9794c65)
Il nous reste à déterminer les constantes
et
pour
cela nous nous servirons des équations qui lient ces deux constantes
à
et à
Dans les questions que l’on a habituellement
à traiter, on n’a qu’un seul paramètre arbitraire et nous n’en
avons introduit deux que pour la commodité de l’exposition. Il
conviendra donc de supposer
et
liés par une relation, par
exemple
Le développement de
et celui de
suivant les puissances
de
et
commence en général par des termes en
et
en
(si l’on met à part le cas où le dénominateur de
est
égal à 3).
Si donc on suppose
on tirera de là
et
développés
suivant les puissances de
et, de deux choses l’une, ou
bien les coefficients du développement suivant les puissances
de
seront réels, ou bien au contraire ce seront les coefficients
du développement suivant les puissances de
qui seront
réels.
Dans le premier cas, le problème comportera deux solutions
réelles pour
et n’en comportera aucune pour
dans
le second cas, ce sera le contraire.