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CHAPITRE XXX.
être remplacés par des fonctions arbitraires de
ou, si l’on préfère,
nous disposons d’une infinité de constantes
Nous pouvons alors disposer de ces constantes de telle
façon que
et
restent égaux à 1 et à
quel que soit
366.Nous avons donc pour déterminer
une équation de la
forme
![{\displaystyle ae^{(k+2)i\varpi }+ce^{-(k+2)i\varpi }=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4f87d08b4c8f1c43e5620002fad4d5a2b7a000)
où
et
sont imaginaires conjugués. En général,
et
ne sont
pas nuls, sans quoi
ne pourrait être déterminé qu’à l’approximation
suivante.
L’équation nous donnera donc pour
une série de valeurs
réelles
![{\displaystyle \varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}},\quad \varpi _{0}+{\frac {2\pi }{k+2}},\quad \varpi _{0}+{\frac {3\pi }{k+2}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f91358f775eb4e4960c037aebd689efb82472c)
Il est clair que l’on n’a pas deux valeurs réellement distinctes
quand on change
en
mais il y a plus ; je dis que les
deux valeurs
![{\displaystyle \varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {2\pi }{k+2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723bb6b63e6350b2582686e9a7f7f14619bec779)
ne correspondent pas à deux solutions périodiques réellement
distinctes.
En effet, comme
n’entre pas explicitement dans nos équations,
en changeant
en
on transforme une solution périodique
quelconque en une autre qui n’est pas essentiellement
distincte.
Changeons donc
en
étant entier.
Alors
se change en
et
en
![{\displaystyle i(nt+2nh\pi +\varpi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b5c9f538289f244f3c84b575b38369f243ad4a)
Comme toutes nos fonctions sont périodiques, de période
en
et
nous ne changerons rien à notre solution en
retranchant respectivement de
et
deux multiples de
par
exemple
et
Alors
sera redevenu
et
se sera
changé en
![{\displaystyle i(nt+2nh\pi +\varpi -2h'\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2441ffe583cf40814301e279f2f4d8a05d122f22)