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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
Donc
et
sont des séries développées suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad \xi _{0},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02743a3fb0952b28bcc217ac8c7da10c6056fee6)
mais ces trois constantes n’y entrent pas d’une façon quelconque.
Rappelons-nous par quel artifice nous avons introduit la constante
auxiliaire
qui n’a servi qu’à simplifier l’exposition ; et
pour cela, reprenons pour un instant les notations du no 274 et
de la page 93 ; nous avons posé
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon ^{2}x_{2}',&y_{2}&=y_{2}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a24b588eac34a9999025ad4a4a1ec0f238cd55a)
Donc nos équations ne cessent pas d’être satisfaites quand on
change
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad x_{1}',\quad y_{1}',\quad x_{2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262dfedabf037563ece443794fa7687d68d1f2bf)
en
![{\displaystyle \varepsilon k^{-1},\quad x_{1}'k,\quad y_{1}'k,\quad x_{2}'k^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe39f84119f41ab7b07be87b7bd73ada6d2957b)
et que les paramètres
et
conservent leurs valeurs primitives.
Nous avons ensuite supprimé les accents devenus inutiles et
nous avons développé
que nous désignions désormais
par les lettres
suivant les puissances de
Nous avons ainsi trouvé les développements
(19)
|
|
|
Nous ne cesserons pas de satisfaire aux équations si nous
changeons
en
et que nous multipliions les quatre
développements (19) respectivement par
![{\displaystyle k^{2},\quad 1,\quad k,\quad k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d986744d9e87bf27727fcbfa99562bb2259aef3)
ou, ce qui revient au même, si nous changeons
![{\displaystyle \xi _{p},\quad \eta _{p},\quad \xi _{p}',\quad \eta _{p}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0591b504f3d5d848e456b5ae96085b7f76ad447)
en
![{\displaystyle \xi _{p}k^{2-p},\quad \eta _{p}k^{p},\quad \xi _{p}'k^{1-p},\quad \eta _{p}'k^{1-p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d681849dfe03cf06059cf8bf5026126368a2945)
On doit, par ce changement, retomber sur des développements
identiques aux développements (19), mais avec des valeurs diffé-