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CHAPITRE XXX.
On obtiendra
![{\displaystyle \xi _{0}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right],\quad u_{0}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d179a9b71eb1a13ae5c876903634b6f2ab7ba73)
en conservant dans ces développements les termes indépendants
de
Or, les divers termes de
contiennent en facteurs les exponentielles
![{\displaystyle e^{ipt}\times e^{i(nt+\varpi )(b_{1}+h_{1}-b_{2}-h_{2})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312734f166da7bb77cfca8103722f0454fa7af37)
Pour que ce terme soit indépendant de
il faut que
![{\displaystyle p+n(b_{1}+h_{1}-b_{2}-h_{2})=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbdfd4b72fe37326bb31a224a0affc3a3fb3978)
ce qui montre que
doit être divisible par le
dénominateur de
Donc
![{\displaystyle b_{1}+h_{1}+b_{2}+h_{2}>b_{1}+h_{1}-b_{2}-h_{2}>{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d772f04f5d8445488740f43c4a1e9b1faab9772)
dénominateur de
![{\displaystyle n\geqq 2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acabf05709c6a1ce0e8deba0d9b246d4a4b97936)
ce qui signifie que
est divisible par
puisque
y figure avec
l’exposant ![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b_{1}+h_{1}+b_{2}+h_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74345c829740e0c5209d145927ecbd9ccc2db017)
Il n’y aurait d’exception que si l’on avait
![{\displaystyle b_{1}+h_{1}=b_{2}+h_{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fc1a10cb9e722d60ddb7c4d20db883d0a53c70)
mais on aurait alors ou bien
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{1}+h_{1}&\leqq 1,\\b_{1}+h_{1}+b_{2}+h_{2}&\leqq 2,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88d27c82bc9c2befa466b78adc42bdc0cb928fb)
de telle façon que
serait encore divisible par
ou bien
![{\displaystyle b_{1}=h_{1}=b_{2}=h_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5845c2d9fc20aa6583afc8533ae873ea65d07a09)
d’où
![{\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3f0171a09212623fe0aa26fa8fe702163eddaa)
mais alors le terme correspondant ne figurerait pas dans ![{\displaystyle u_{0}\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b5e0d0f64c8d4a2298444f0ff1361c59c51854)
De même
sera toujours divisible par
à moins que
auquel cas, le terme ne figurerait pas dans
Donc, en résumé,
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right],\quad \left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2171a397c76e579cc47649fbe15bd3e44523b2f9)
et, par conséquent,
et
sont des polynômes entiers en
et ![{\displaystyle {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ee4e2e971176f27e4939e31d1ed546707c122b)