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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
et
mais
et
auront été préalablement déterminés par
des relations de même forme que (13). Donc (13) déterminera
et par conséquent
Et ainsi de suite.
Discussion.
364.Dans la solution à laquelle nous sommes parvenus figurent
encore les constantes arbitraires suivantes
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad \xi _{0},\quad u_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb25d15bcbb2f04f5e00ddd636995c4df486438)
Quant aux paramètres
et
ils nous sont donnés par leurs
développements suivant les puissances croissantes de
développements
dont nous avons calculé successivement les coefficients.
Ces coefficients
et
dépendent des deux constantes
et
ces coefficients ont été calculés à l’aide des équations
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}\right]+\lambda _{k}\mathrm {H} _{0}=\left[{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}\right]+2\mu _{k}\mathrm {B} _{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ec0d786a2d756b8ef9ef0f716741a396ff29dd)
et
sont des polynôme entiers en
![{\displaystyle \xi _{0},\,{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{\pm i(nt+\varpi )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab09254cd04a949b49ebef79a2861e2605bffbd)
Soit
![{\displaystyle \Theta _{k}=\sum \mathrm {P} \xi _{0}'^{h_{1}}\eta _{0}'^{h_{2}}\xi _{0}^{h_{3}}=\sum \mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58f02020220d0b9241986c828eb022b918c860f)
où
est un polynôme entier par rapport à
(18)
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dont les coefficients sont des fonctions périodiques de ![{\displaystyle \eta _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567f458c000373b4ddd6021e8b897f51bbdd7b72)
Il vient alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}&=\sum h_{3}\mathrm {Q} ,&u_{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}&=\sum \left({\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}\right)\mathrm {Q} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c33fc88287b6e7a4625e6c89e884c754346ee6)
Remplaçons ensuite les quantités (18) par leurs développements
et soit
![{\displaystyle \mathrm {P} =\sum \mathrm {B} \,\xi _{0}'^{b_{1}}\eta _{0}'^{b_{2}}\xi _{0}^{b_{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205ebcd246762f5e5fe32975a926148c32948a95)
étant une fonction périodique de
de période
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}}&=\sum h_{3}\mathrm {R} ,&u_{0}\,{\frac {d\Theta _{k}}{du_{0}}}&=\sum {\frac {h_{1}+h_{2}}{2}}\mathrm {R} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b03064fbdeb1d3020ee3bc6c1c6500fb58b1aa6)