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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
Remarquons que
ne sera pas nul en général et, en effet,
![{\displaystyle {\frac {d[\Theta _{2}]}{d\xi _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbf9f79d99c7018f174546ff7e4029b8b0008e5)
ne sera pas nul en général. Car
étant un polynôme de degré 4,
contiendra un terme en
indépendant des
et des
Le
coefficient de ce terme sera une fonction périodique de
de période
et la valeur moyenne n’en sera pas nulle en général.
Passons aux équations (5 bis) ou, ce qui revient au même, aux
deux dernières équations (5). Les seconds membres de ces deux
dernières équations devront avoir leurs valeurs moyennes nulles.
On devra donc avoir
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]=-2\mu _{2}\mathrm {B} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbce6da7c4e884fecb4924c46605d0eedcdf4fff)
ce qui détermine
Or
![{\displaystyle u_{0}{\frac {d\Theta _{1}}{du_{0}}}=\eta _{0}'{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}'}}+\xi _{0}'{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4225840b2a7a03617663d872edf6b3d38235b4)
est un polynôme du quatrième ordre.
contient donc des
termes en
et, par conséquent,
contient un terme en
![{\displaystyle u_{0}^{2}=\left({\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{i(nt+\varpi )}\right)^{2}\left({\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-i(nt+\varpi )}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1c2ed711e6185c0874334cf6b46c59eaec0dc4)
Le coefficient de ce terme est une fonction périodique de
dont
la valeur moyenne n’est pas nulle en général, Donc, en général,
et, par conséquent,
ne sont pas nuls. C’est le même raisonnement
que pour ![{\displaystyle \lambda _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b172dd98cbd3da10eb199060523f640a6f1acc5b)
On doit avoir ensuite
(12)
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Mais je dis que cette condition est remplie d’elle-même.
Nous avons, en effet, l’intégrale des forces vives,
d’où nous déduisons la série d’équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{0}&=const.,&\Phi _{1}&=const.,&\Phi _{2}&=const.,&\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3839417f12ecfdff9b8bce62824e9a8b1ff01dc0)
Considérons la troisième de ces équations
![{\displaystyle \Phi _{2}=\Theta _{2}-\xi _{2}-inu_{2}+\lambda _{2}\mathrm {H} _{0}\xi _{0}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{2}u_{0}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67ac3fa486850c446cce659eb1cc812289f067e)