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CHAPITRE XXX.
Cela posé, suivons pas à pas le calcul du no 44. Nous poserons
(4)
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Ces formules sont analogues aux formules (2) du no 44.
Les
les
les
les
sont donc des fonctions périodiques
de
et
sont des constantes, et l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{0}&=t,&v_{0}&=nt+\varpi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52afa12f575df3d4d4f682119517cd3ea1a20510)
étant une constante d’intégration que je me réserve de déterminer
plus complètement dans la suite.
Substituons alors dans
à la place de
de
de
et
leurs développements suivant les puissances de
alors
sera également développable suivant les puissances de
et nous
aurons
![{\displaystyle \mathrm {F} =\Phi _{0}+\varepsilon \,\Phi _{0}+\varepsilon ^{2}\Phi _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46736c5e8a837d145227b7959ad193f56dadb3ab)
Je remarquerai d’abord que
est homogène de degré
si l’on regarde
et
comme de degré
et
comme
de degré
et
comme de degré
C’est d’ailleurs un polynôme entier par rapport à
![{\displaystyle \xi _{p},\quad u_{p},\quad \eta _{p},\quad v_{p},\quad \lambda _{p},\quad \mu _{p}\qquad (p>0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f067423508348a95484420d0ee0d54caca7672)
et, par rapport à
![{\displaystyle {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{v_{0}},{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-v_{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a494f7ed69c1f22373421c1ff0f521a0a06955e)
Ces deux dernières quantités sont regardées comme d’ordre 1.
Enfin les coefficients de ce polynôme sont des fonctions périodiques
de
dont la période est
Nous trouverons d’autre part
![{\displaystyle \Phi _{k}=\Theta _{k}-\xi _{k}-inu_{k}+\lambda _{k}\mathrm {H} _{0}\xi _{0}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{k}u_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4d01553441bf003279c1a1a06d3689c68fea62)
où
et
sont les valeurs de
et
pour
Nous
pouvons supposer que pour
on a
D’autre part,
dépend seulement de
![{\displaystyle \xi _{p},\quad \eta _{p},\quad u_{p},\quad v_{p},\quad \lambda _{p},\quad \mu _{p}\qquad (p\leqq k-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129d08d5762fe2fb7418f330af832b2423f2efb3)