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CHAPITRE XXIX.
Nous avons, au no 340, trouvé pour l’expression de l’action
![{\displaystyle \mathrm {J} '=\int \left[ds\,{\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}+\omega '(\xi \,d\eta -\eta \,d\xi )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26d2255726357a2ef698ca5569e840357efe2e4)
Pour simplifier, je poserai
je désignerai les coordonnées
non plus par
et
mais par
et
pour me rapprocher
des notations employées dans les numéros précédents et la vitesse
angulaire non plus par
mais par
en supprimant l’accent
devenu inutile. J’aurai alors
![{\displaystyle \mathrm {J} '=\int \left[\mathrm {F} {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}+\omega \,(x\,dy-y\,dx)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af504167713ebbad85b3c15f8b3b6cc0e5521f38)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathrm {J} '=\int {\Big [}\delta \mathrm {F} \,ds&+\mathrm {F} {\frac {dx\,\delta dx+dy\,\delta dy}{ds}}\\&+\omega \,(\delta x\,dy-\delta y\,dx)+\omega \,(x\,\delta dy-y\,\delta dx){\Big ]}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7c868359420a9f2b47226971575ef462b437ac)
ou, en intégrant par parties,
(4)
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L’expression définitive de
comprend donc deux parties :
une intégrale définie qui doit être prise entre les mêmes limites
que l’intégrale
et une partie toute connue que j’ai placée suivant
l’usage entre deux crochets avec les indices 0 et 1, cette notation
signifiant qu’on doit calculer l’expression entre crochets pour les
deux limites d’intégration et faire ensuite la différence.
Supposons maintenant que l’on égale à zéro l’expression qui
figure sous le signe
dans le second membre de (4). On obtiendra
des équations différentielles qui seront précisément les équations
du mouvement et auxquelles satisferont toutes nos trajectoires et
en particulier les courbes (1).
Ces équations peuvent s’obtenir d’une infinité de manières
parce que
et
sont deux fonctions entièrement arbitraires.
Nous pouvons d’abord supposer
d’où
et
notre équation s’écrira, en divisant par
(6)
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