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CHAPITRE XXIX.
Ces solutions asymptotiques du second système seraient des
courbes spirales analogues aux courbes (1), mais s’enroulant en
sens contraire. Elles ne sont pas représentées sur la figure.
Dans le cas d’une solution instable de la deuxième catégorie,
les courbes (1) présenteraient un aspect tout différent ; elles viendraient
recouper une infinité de fois la trajectoire fermée
et les points d’intersection formeraient un ensemble infini présentant
un nombre fini, d’ailleurs pair, de points limites. Ces
points limites correspondraient aux valeurs
envisagées
dans le no 349.
357.Revenons aux solutions instables de la première catégorie
et aux solutions asymptotiques du premier système représentées
sur la figure (11). Je me propose d’établir que l’action est moindre
pour
que pour toute courbe fermée infiniment voisine.
Je considère une courbe fermée quelconque infiniment peu
différente de
Cette courbe, que j’appellerai
est représentée
sur la figure (11) par une courbe fermée en trait plein extérieure
à
et passant par les points
et
Bornons-nous d’abord au cas du mouvement absolu. Dans ce
cas nous avons le théorème suivant bien connu :
Soient
une série continue d’arcs de
trajectoires.
Les extrémités de ces arcs se trouvent sur deux courbes
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2}\ldots \mathrm {A} _{n},\quad \mathrm {B} _{1}\mathrm {B} _{2}\ldots \mathrm {B} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48df7db6e1c3fbf20795cf5caf402b5bc1efc37)
Si ces deux courbes coupent orthogonalement les trajectoires
on aura
![{\displaystyle (\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1})=(\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2})=\ldots (\mathrm {A} _{n}\mathrm {B} _{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfaad0f0376b0ac35cda25d0b5fcae05bef0361)
en désignant toujours par
l’action correspondant à
l’arc ![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187f97c74564428d4288ccab1a4227b90c187f1c)
Construisons donc les trajectoires orthogonales des courbes (1).
Ces trajectoires que j’appellerai les courbes (2) auront pour équation
différentielle
(3)
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