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CHAPITRE XXIX.
qui correspond à la fonction
des numéros précédents puisse
s’annuler et par conséquent devenir infini.
Or, on peut évidemment construire une fonction périodique
satisfaisant aux conditions suivantes :
1o Elle admettra deux zéros simples et deux seulement ;
2o Ces zéros annuleront également
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dt^{2}}}+2\alpha {\frac {d\mathrm {G} }{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cd74bc203149f5348e0400f630430f3ffd6a3c)
Il en résulte que toutes les fois que
![{\displaystyle \zeta =e^{\alpha t}\mathrm {G} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af84ef72e5ad560a369bb8ab6106ef329ffce230)
s’annulera, sa dérivée seconde s’annulera également de telle façon
que le rapport
![{\displaystyle {\frac {1}{\zeta }}{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\varphi -3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e66671520c11413f8c05c6ba4378c85a3ad7ae7)
restera fini.
On peut évidemment construire une fonction
qui satisfasse
à ces conditions ; la fonction périodique construite à l’aide de
cette fonction
correspondra à une solution périodique instable
de la deuxième catégorie.
Comme exemple de fonction
satisfaisant à cette condition,
nous pouvons prendre
![{\displaystyle \mathrm {G} =\sin t-{\frac {\alpha }{4}}\left(\cos t-\cos 3t\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cad4aa8f1a4847d3e1d4974f8b710519598c44d)
Cette fonction s’annule pour
et
et elle n’a pas
d’autre zéro si
![{\displaystyle \alpha <{\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46547b8d6c8ce821648cb207f17a29daec87a75)
D’ailleurs, pour
et pour
on a
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dt^{2}}}+2\alpha {\frac {d\mathrm {G} }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeeef947a235cb82aaccf181b7605562126f7b4f)
Pour que le rapport
s’annule, il ne suffit pas que
s’annule,
il faut encore que
ne s’annule pas.
Or, c’est ce qui arrive, car si
et
s’annulaient à la fois, les