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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=1+\zeta ,&\omega &=t+\nu \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbfc636a0f310f3a1d87db054cdbb92abf38b02)
et formons les équations aux variations ; elles s’écriront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\zeta +2{\frac {d\nu }{dt}}+\zeta \varphi (t),&{\frac {d^{2}\nu }{dt^{2}}}+2{\frac {d\zeta }{dt}}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f892fa3ba355d77b778a3e9cc6ff0e8fb56f1acd)
La seconde s’intègre immédiatement
![{\displaystyle {\frac {d\zeta }{d\beta }}+2\zeta =\mathrm {const.} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b144d6a9dca01b9aad42fa150f7fec95f4c40f72)
mais cette constante doit être nulle si nous voulons que la constante
des forces vives ait même valeur pour la trajectoire
et
pour la trajectoire infiniment voisine.
Si donc on remplace
par
la première équation aux
variations deviendra
(2)
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L’équation (2) qu’il nous reste à intégrer est une équation
linéaire à coefficient périodique.
Ces équations ont été traitées dans les nos 29 et 189 (voir en
outre Chapitre IV, passim).
On sait qu’elles admettent deux solutions de la forme suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=e^{\alpha t}\mathrm {G} (t),&\zeta &=e^{-\alpha t}\mathrm {G} _{1}(t),&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b3ddebbe66739d8fb664e38a6db1e794beefe80)
et
étant des fonctions périodiques.
Nous allons trouver des exemples de tous les cas distingués
plus haut. Supposons d’abord que
se réduise à une constante
(cas des forces centrales).
Si
on aura une solution périodique stable.
Si
il n’y aura pas sur
de foyer maupertuisien et
nous aurons une solution périodique instable de la première catégorie.
Il me reste à faire voir qu’il peut aussi y avoir des solutions
périodiques instables de la deuxième catégorie.
La solution sera instable et de la deuxième catégorie si
s’annule de telle façon que le rapport
![{\displaystyle e^{2\alpha t}{\frac {\mathrm {G} }{\mathrm {G} _{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ce5fb7306ff3503f5f0850811459c2796f8524)