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CHAPITRE XXIX.
de sorte que si
est, par exemple, compris entre
et
la différence
![{\displaystyle t_{2n}''-2n\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608da969200286f81c1626c4b2a832da6e4710eb)
tendra vers
quand
croîtra indéfiniment.
Si
tend vers
cette différence tendra vers
ou vers
selon que
sera compris entre
et
ou entre
et
J’ajouterai
que la différence
est, ou constamment croissante,
ou constamment décroissante avec
Les valeurs
correspondent aux points où
![{\displaystyle \xi _{1}\eta _{2}-\xi _{2}\eta _{1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9923d8fed12a2859787d7687a800f27720619c80)
mais
est une fonction périodique multipliée par
or, une fonction périodique doit dans une période s’annuler un
nombre pair de fois.
Par conséquent, la trajectoire fermée
sera partagée par les
points
en un certain nombre d’arcs et ce nombre sera toujours pair.
350.Au point de vue qui nous occupe, les solutions périodiques
instables peuvent donc se répartir en deux catégories.
Mais on pourrait se demander si ces deux catégories existent
réellement. Il convient donc d’en citer des exemples.
Soient
et
les coordonnées polaires d’un point mobile dans
un plan ; les équations du mouvement s’écriront
(1)
|
|
|
Supposons que, pour
on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} &=0,&{\frac {d\mathrm {U} }{d\omega }}&=0,&{\frac {d\mathrm {U} }{d\rho }}&=-1,&{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{d\rho ^{2}}}&=\varphi (\omega )\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5feda57577d8112ab78e6afc36b1311634c5203)
les équations (1) admettront pour solutions
![{\displaystyle \rho =1,\quad \omega =t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83c97549c64199fd9f9d6b97a2d7321a7c9741f)
et cette solution correspondra à une trajectoire fermée qui sera
une circonférence.