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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
À chaque valeur de
correspond une seule valeur de
et à
chaque valeur de
une seule valeur de
nous ne pouvons donc
avoir
sans avoir
et si nous voulons
il faut
que
soit positif.
En faisant
on donnera à
la plus petite valeur ; il
vient
![{\displaystyle \tau ''-\tau '={\frac {i\,\pi }{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13ba7c96f9f1d3e72c76a412348fe0c0b80dabb)
et le point
est alors le foyer de ![{\displaystyle \mathrm {M} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c44eea476e20cbf9e00186d44b59ffc49333f8)
Mais il importe de remarquer une chose.
Pour que le raisonnement qui précède s’applique, il faut que
soit une fonction périodique ; mais, en général, tout ce
que nous savons, c’est que
est une fonction périodique, et
il en résulte simplement que
![{\displaystyle \log \mathrm {G} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3562466a6adc90015f798811d13ff7b6615f14b)
augmente d’un multiple de
par exemple de
quand
augmente de
Alors
![{\displaystyle \log \mathrm {G} (t)-ikt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee0d30df0218886dfc36515b7d1bf1e78000198)
est une fonction périodique.
Posons alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {G} '(t)&=\mathrm {G} (t)\,e^{-ikt},\\\alpha '&=\alpha +{\frac {ik}{2}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5e743aedc5e62561f2531419debe790ebd4072)
il viendra
![{\displaystyle \zeta (t)=e^{2\alpha t}\mathrm {G} (t)=e^{2\alpha 't}\mathrm {G} '(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c19718ef35c243ddd11a87ccb40e29359b4723)
On posera alors, non plus
![{\displaystyle \tau =t+{\frac {1}{2\alpha }}\log \mathrm {G} (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1b83e66182276ce0e7e79ccae261592fec33a7)
mais
![{\displaystyle \tau =t+{\frac {1}{2\alpha '}}\log \mathrm {G} '(t)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30aaa007a0a4895719ec9c55c59312437faa466c)
comme
sera périodique, les conclusions qui précèdent
subsistent, l’équation (3) s’écrira
(
![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
étant entier)