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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
et, en posant
![{\displaystyle {\frac {\xi _{1}\eta _{2}-\xi _{2}\eta _{1}}{\xi _{1}\eta _{3}-\xi _{3}\eta _{1}}}=\zeta (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea515c66d567698555779ee44975bf9507b24665)
l’équation (2) devient
(3)
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Application aux solutions périodiques.
346.Si nous avons affaire à une solution périodique de
période
les fonctions
et
du numéro précédent
seront périodiques de période
il en est de même de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=f_{1}'(t),&\eta _{1}&=f_{2}'(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1568f5deb133ad68ab17a3ffe4aeeb4483dc4cab)
De plus, les équations aux variations admettront, d’après le Chapitre IV,
d’autres solutions particulières qui seront de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=e^{\alpha t}\varphi _{2}(t),&\eta &=e^{\alpha t}\psi _{2}(t)\,;\\\xi &=e^{-\alpha t}\varphi _{3}(t),&\eta &=e^{-\alpha t}\psi _{3}(t)\,;\\\xi &=\varphi _{4}(t)+\beta tf_{1}'(t),&\eta &=\psi _{4}(t)+\beta tf_{2}'(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a47c628a9b14bf469c070066ae266eca6af1cf)
Dans ces équations,
est une constante,
et
sont les exposants
caractéristiques, les
et les
sont des fonctions périodiques.
Soit
![{\displaystyle \mathrm {F} \left(x,y,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right)=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22efa0cc25b0c23bf1c105f08f476f1f0f1cb3ec)
l’équation des forces vives ; on devra avoir
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\,\xi +{\frac {d\mathrm {F} }{dy}}\,\eta +{\frac {d\mathrm {F} }{d{\dfrac {dx}{dt}}}}{\frac {d\xi }{dt}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d{\dfrac {dy}{dt}}}}{\frac {d\eta }{dt}}=\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef929975aeeb46e7110273be27e9e60b6d88d73)
étant une constante. Si, dans cette équation, nous remplaçons
et
par
le premier membre devient une fonction
périodique de
multipliée par et
et, comme il doit être constant,
il faut qu’il soit nul.
On aura donc
.
Cela veut dire que les deux trajectoires infiniment voisines qui