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CHAPITRE XXIX.
cette dernière condition n’est pas imposée aux foyers hamiltoniens.
L’une des solutions des équations aux variations est
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=f_{1}'(t),&\eta &=f_{2}'(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c187264808998006b45b68861ca6d1569427b88)
Nous pouvons donc supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}'&=f_{1}'(t'),&\eta _{1}'&=f_{2}'(t'),&\xi _{1}''&=f_{1}'(t''),&\eta _{1}''&=f_{2}'(t'').\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5109192402c3fc586b1ab59f284bcf1c42f9f519)
Ainsi sont définies les deux fonctions
et
D’autre part, la différence entre la constante des forces vives
relative à
et la constante des forces vives relative à
est
infiniment petite ; c’est évidemment une fonction linéaire des
quatre constantes infiniment petites
Nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que cette
différence est précisément égale à
.
Alors, la condition pour que la valeur de la constante des forces
vives soit la même pour
et
c’est que
ou bien
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\xi &=a_{1}\xi _{1}&{}+{}&a_{2}\xi _{2}&{}+{}&a_{3}\xi _{3},\\\eta &=a_{1}\eta _{1}&{}+{}&a_{2}\eta _{2}&{}+{}&a_{3}\eta _{3}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6055b309719e467a430e2deedd6e9ab26d3fe814)
Maintenant, pour
et
doivent être nuls, d’où les équations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}a_{1}\xi _{1}'&{}+{}&a_{2}\xi _{2}'&{}+{}&a_{3}\xi _{3}'&=0,\\a_{1}\eta _{1}'&{}+{}&a_{2}\eta _{2}'&{}+{}&a_{3}\eta _{3}'&=0.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be92b7ad4bd2e6e38c63ce9531f6fb9deb4ed213)
D’autre part,la valeur de
pour
doit
être la même (à des infiniment petits près d’ordre supérieur) que
celle de
et de
pour
ce qui s’écrit
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(\varepsilon +a_{1})&&\,\xi _{1}''&{}+{}&a_{2}\xi _{2}''&{}+{}&a_{3}\xi _{3}''&=0,\\(\varepsilon +a_{1})&&\,\eta _{1}''&{}+{}&a_{2}\eta _{2}''&{}+{}&a_{3}\eta _{3}''&=0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4ec4379962b88a9af747cf0f863be9052adc42)
d’où, par élimination,
(2)
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En développant le déterminant, on trouve
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cc}\xi _{1}'\eta _{2}'-\xi _{2}'\eta _{1}'&\xi _{1}'\eta _{3}'-\xi _{3}'\eta _{1}'\\\xi _{1}''\eta _{2}''-\xi _{2}''\eta _{1}''&\xi _{1}''\eta _{3}''-\xi _{3}''\eta _{1}''\end{array}}\right|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca47eeb90992a6748ab23d4885b4c9f699926eb0)