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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
Cela posé, examinons le cas où
est de la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {H} =\mathrm {H} _{0}+\mathrm {H} _{1}+\mathrm {H} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ff8218dd06e44ce8f2ddbfc4cbda43ef7a07b7)
étant homogènes, respectivement de degré 0, 1, 2 par
rapport aux variables ![{\displaystyle x_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0431991b3251ca808bb14e43a221a94c47586d7e)
On a alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum x_{i}'{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial x_{i}'}}&=2\mathrm {H} _{2}+\mathrm {H} _{1},\\[0.75ex]\mathrm {F} &=\mathrm {H} _{2}-\mathrm {H} _{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0707c930964c41977b9c0ba34468b4569fabe776)
et les
![{\displaystyle y_{i}={\frac {\partial \mathrm {H} _{2}}{\partial x_{i}'}}+{\frac {\partial \mathrm {H} _{1}}{\partial x_{i}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8821dfc06ef2aa8a94166524d3bea97bc34d77c8)
sont des fonctions linéaires, mais non homogènes par rapport
aux ![{\displaystyle x_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0431991b3251ca808bb14e43a221a94c47586d7e)
L’action hamiltonienne conserve la même forme
![{\displaystyle \int \mathrm {H} \,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d5510a023953904c7e9a364e855110f5054c79)
Voyons ce que devient l’action maupertuisienne.
Soit
la constante des forces vives ; l’action maupertuisienne
aura pour expression
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {H} +h\right)\,dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50706dd8e6bed73e5e0b5f5a1d4d3ff2193148f1)
mais il faut la mettre sous une forme indépendante du temps.
Pour cela, posons
![{\displaystyle \mathrm {H} _{2}={\frac {d\tau ^{2}}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb30beba1cc4d03df3ea82ecbb816ddf769c6ab)
et
![{\displaystyle \mathrm {H} _{1}={\frac {d\sigma }{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75ff8f15c429231bd449bbcacd7f4dddde9a1e4)
n’est autre chose que la force vive, et
est ce que devient
cette force vive quand on y remplace
par
De même
est
ce que devient
quand on y remplace
par
c’est donc
une forme linéaire homogène par rapport aux différentielles ![{\displaystyle dx_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff0d869d200c671f06706fd6e83870e7986236a)
Si l’on tient compte de l’équation des forces vives
![{\displaystyle \mathrm {H} _{2}=\mathrm {H} _{0}+h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0b314caf33197e44e5236c43be0e5373233244)
d’où
![{\displaystyle dt={\frac {d\tau }{\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b74ec1e0f1f49f8fc72c77b561a2b4c11956b9b)