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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
ou bien
(2)
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et
(3)
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L’équation (2) exprime que, si l’on suppose
et
liés par la
relation
admet un maximum ou un minimum.
Or, si l’on regarde un instant
et
comme les coordonnées
d’un point dans un plan, la relation
représentera une
ellipse, car la forme quadratique
(et par conséquent la
forme
) doit être définie pour que
puisse admettre un
maximum ou un minimum. Or, l’ellipse étant une courbe
fermée, la fonction
devra présenter au moins un maximum
et un minimum quand le point
décrira cette courbe
fermée.
Donc, quelle que soit la valeur constante attribuée à
l’équation (2)
admettra au moins deux racines, et deux racines d’ordre impair,
car nous avons vu au no 34 qu’un maximum ou
un minimum correspond toujours à une racine d’ordre impair.
D’ailleurs ici, où nous n’avons plus qu’une variable indépendante,
le théorème du no 34 est presque évident.
Cela posé, deux cas sont à distinguer :
Premier cas. —
n’est pas une puissance de
dans ce
cas on n’a pas identiquement
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{0}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f2c62f88962f6b20e337c26f22ade302a20f61)
On aura donc
et
![{\displaystyle \mathrm {H} _{0}={\frac {d\mathrm {U} _{0}'}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {U} _{0}'}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5202758ba1cf446d88362c1866c7d13396be6b94)
L’équation
est alors homogène en
et
Quelle que
soit la valeur constante attribuée à
elle nous donnera pour le
rapport
la même valeur.
Nous tirerons donc d’abord
de l’équation (2) et, d’après ce