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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
Supposons maintenant que
soit purement imaginaire. Alors
et
sont imaginaires conjugués et le produit
est la
somme de deux carrés.
Pour que
ait un maximum, il faut et il suffit que toutes les
quantités
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}},\quad -\mathrm {NT} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ae7b960816e9166843940c7941838b9db05337)
soient négatives ; pour que
ait un minimum, il faut et il suffit
que toutes ces quantités soient positives.
Il importe de remarquer que toutes ces quantités sont réelles ;
car
et
sont réels.
325.Comment ces résultats sont-ils modifiés si l’on suppose
que la constante des forces vives est regardée comme une des
données de la question. On a alors identiquement
![{\displaystyle \sum \left({\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\,x'+{\frac {d\mathrm {F} }{dy}}\,y'\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eedc6f908070a20b7549e07f0d19fbb5617932e6)
où l’on suppose que dans
et
et
ont été remplacés par
les fonctions périodiques
et ![{\displaystyle \varphi _{i}'(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443b7737ad72121965e519ff674ee4be1571ef0a)
Et, en effet, la valeur constante de la fonction
doit être la
même pour la solution périodique
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29738962d8527edea8986473dafb41d08ae36353)
et pour la solution infiniment voisine
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84dd134496496cd70e957611a2d3f080cdf0b2ac)
Cette relation est une équation linéaire entre les constantes
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {C} ,\quad \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2722cff693aa3eea90fa7d4bd7e473f847d72da)
et les coefficients doivent être indépendants de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Il résulte de là que
et
ne doivent pas figurer dans la relation,
puisque ces constantes sont toujours multipliées par
et que cette exponentielle ne pourrait disparaître.
De plus,
n’y figure pas non plus puisque la solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}}{dt}},&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}'}{dt}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfcae4b2adb7c6e66b875c42270ad27f3601557)