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INVARIANTS INTÉGRAUX.
riant intégral d’ordre
par rapport aux variétés fermées, c’est
que (4) soit un invariant intégral absolu d’ordre
239.Reprenons l’expression (1) du numéro précédent et supposons
que ce soit un invariant relatif, je veux dire un invariant
intégral par rapport aux lignes fermées.
Amenons-la à la forme (1 bis) par notre changement de variables
Soit
un point de
![{\displaystyle y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1},\quad z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55172d67765b8111e7c6483a564bf8821d880e0)
ses coordonnées (avec les nouvelles variables).
Soit
le point correspondant de
![{\displaystyle y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1},\quad z+t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21568b28a51fe5eb46203e24c345667ce731063)
ses coordonnées. Les
seront des fonctions des
et de
mais
je mettrai
en évidence, en écrivant
sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {B} _{k}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471ad691db6b5f04e56b35ff2e1b1bd79dd839c3)
Nous aurons alors, si la ligne
est fermée,
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}(z+t)\,dx_{k}'=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}(z)\,dx_{k}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76a887c70218c3f224a7475d3f45408e4dc0c18)
ce qui veut dire que l’expression
(3)
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est une différentielle exacte que je pose égale à
la fonction
dépendra non seulement des
et de
mais encore de
Pour
elle doit se réduire à une constante.
Si nous supposons
infiniment petit et que nous appelions
la dérivée de
par rapport à
l’expression (3) se réduit à
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,[t\,\mathrm {B} _{k}'(z)]\,dx_{k}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11079dc929776aaab72f89487905b556be4bc18e)
L’expression
(4)
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est alors une différentielle exacte que je pose égale à
La fonction
ainsi définie dépendra des
et de
mais ne dépendra
plus de
Je mettrai encore
en évidence en écrivant
il