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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
Calculons la dérivée de
par rapport à
à l’aide des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{d\mathrm {T} }}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} _{i}}},&{\frac {d\mathrm {Y} _{i}}{d\mathrm {T} }}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} _{i}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8eeb285406e17a28c64370599376ba9207b8db0)
Il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=\int \sum &\left[{\frac {d\mathrm {X} }{d\mathrm {T} }}\,d(\mathrm {Y} +\eta )-{\frac {d\mathrm {Y} }{d\mathrm {T} }}\,d(\mathrm {X} +\xi )\right.\\&\qquad \qquad \;\left.+(\mathrm {X} +\xi )\,d{\frac {d\mathrm {Y} }{d\mathrm {T} }}-(\mathrm {Y} -\eta )\,d{\frac {d\mathrm {X} }{d\mathrm {T} }}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d66e9c66724fb3dc8c2dcb93df2f4459d73db4)
ou bien
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=\int \sum &\left[{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\,d(\mathrm {Y} +\eta )+{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}\,d(\mathrm {X} +\xi )\right.\\&\qquad \qquad \;\left.-(\mathrm {X} -\xi )\,d{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}-(\mathrm {Y} -\eta )\,d{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea32c84bbd0e70746399c3bbbb9d45189d94815)
ou, en intégrant, par parties,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=-\!\sum \!\left[(\mathrm {X} \!-\!\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} \!-\!\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\!\right]+2\!\int \!\sum \!\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}\,d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\,d\mathrm {Y} \right)\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da021b027374e23eab34ef3346f9c2f045388116)
ou enfin
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2\mathrm {F} -\sum \left[(\mathrm {X} -\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]+{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9093f99cf712d8eb820fb7f2ce41e0dbeddea8)
fonction arbitraire de
![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Nous prendrons la fonction arbitraire de
égale à une constante
et nous aurons
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2(\mathrm {F} -\mathrm {C} )-\sum \left[(\mathrm {X} -\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0171e8b3c5fa8295542ca0947a03bf187dbcbdd)
Pour
on a
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38c564ce60bef2ed1f079c9805936403971f1a4)
Nous prendrons cette constante nulle de sorte que
s’annulera
identiquement pour
la fonction
est ainsi entièrement
déterminée.
321.Cherchons les maxima et les minima de la fonction
Considérons d’abord
comme une constante. Pour que la fonction
présente un maximum ou un minimum, il faut, à supposer
que cette fonction
puisse être regardée comme fonction
uniforme des variables
et
dans le domaine considéré,
il faut, dis-je, que ses dérivées par rapport à ces