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CHAPITRE XXVIII.
tenant aux équations (1)], deux soient nuls et un troisième multiple
de
Supposons cette condition remplie ; on tirera de (3 ter) les
et
en séries ordonnées suivant les puissances entières ou fractionnaires
de
je m’abstiendrai encore ici de la discussion.
Application aux équations de la Dynamique.
319. Je voudrais faire une discussion plus complète de ce qui
concerne les équations de la Dynamique ; mais pour cela, j’ai
besoin d’abord de démontrer une importante propriété de ces
équations.
Soient
et
les valeurs de
et
pour
soient
et
les valeurs de
et
pour
Nous savons que
![{\displaystyle \iint \sum \,dx_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a0285fa40504562fb7ac865c2d044f177877f1)
est un invariant intégral ; on aura donc
![{\displaystyle \iint \sum \left(d\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-d\xi _{i}\,d\eta _{i}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5d407a60103d62680f07689a805e3be834cef5)
l’intégrale double étant étendue à une aire quelconque ![{\displaystyle \mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b3a778414f6a1907d8bc1577228f859bedad03)
Cela peut s’écrire
![{\displaystyle \int \sum \left(\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}\,d\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}\,d\eta _{i}+\eta _{i}\,d\xi _{i}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72feaecc084a7d716951f5805d756b315d30cb9a)
l’intégrale simple étant étendue au contour de l’aire
c’est-à-dire
à un contour fermé quelconque.
En d’autres termes, l’expression
![{\displaystyle \sum \left(\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}\,d\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}\,d\eta _{i}+\eta _{i}\,d\xi _{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a57275291b981588993144c45fafd803b7d5157)
est une différentielle exacte.
Il en résulte que
![{\displaystyle d\mathrm {S} =\sum {\big [}(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i})\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e750a233a6df5fb3bef798beaff951ddf83101c)
est aussi une différentielle exacte.
320. Si l’on fait varier
il est clair que
sera fonction de