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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
Cas où le temps n’entre pas explicitement.
316.Supposons que les fonctions
qui figurent dans les
équations (1) ne dépendent pas du temps
Dans ce cas, comme nous l’avons vu au no 61, l’un des exposants
caractéristiques est toujours nul.
D’autre part, si
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e611ef90227502441d4bb4069816ece40367e)
est une solution périodique de période
il en est de même de
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t+h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736af8fbf7d199d5db07cafe9bada06fe6a27760)
quelle que soit la constante ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
Dans le numéro précédent, nous supposions qu’il y avait, quel
que soit
une solution périodique
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e611ef90227502441d4bb4069816ece40367e)
et la période ne pouvait être que
puisque les
étaient des
fonctions périodiques de
de période ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
La période était donc indépendante de
Il n’en est plus de même ici. Nous supposerons toujours que,
quel que soit
les équations (1) admettent une solution périodique
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa286d625c425d1e3a8b1972797ab3829d32259)
Mais la période dépendra de
en général. J’appellerai
la
période, et
la valeur de
pour
c’est-à-dire pour
Nous modifierons alors un peu la définition des quantités
et
Nous désignerons toujours par
la valeur de
pour
mais nous représenterons par
la valeur
de
pour
(et non pour
).
Alors, les
seront des fonctions des
variables
![{\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n},\,\tau ,\,\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19321d4197cae82feabbdda63a2123ba0348ec4a)
Si l’on continue à regarder les
et
comme les coordonnées
d’un point dans l’espace à
dimensions, les équations
(3)
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représenteront alors non plus une courbe, mais une surface