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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
toutefois que les mineurs du
ième ordre ne sont pas tous nuls à
la fois.
Dans ces conditions, d’après le no 57, il y aura non pas un,
mais
exposants caractéristiques qui seront multiples de
De
des équations (3), on pourra alors tirer
des
quantités
sous la forme de séries développées suivant les puissances
de
et des
dernières quantités
Pour abréger le langage, je dirai les
pour désigner les
premières quantités
et les
pour désigner les
dernières
quantités
Nous aurons donc les
développées suivant les puissances
de
et des
Substituons ces développements à la place des
dans les
dernières équations (3), nous obtiendrons
équations
(5)
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dont les premiers membres seront développables suivant les puissances
de
et des ![{\displaystyle \beta ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6bfc20a201c22ff0394eb1f297360609c5d1ea)
Le jacobien et ses mineurs des
premiers ordres étant
nuls, ces premiers membres ne contiendront pas de termes du
premier degré en
indépendants de
Il faut voir maintenant si
les premiers membres des équations (5) contiendront des termes
du premier degré par rapport aux
et en même temps du premier
degré par rapport à
Soit
l’ensemble des termes de
qui sont du premier degré
par rapport aux
il est clair que
pourra se développer suivant
les puissances de
soit
![{\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}^{0}+\lambda \theta _{i}^{1}+\lambda ^{2}\theta _{i}^{(2)}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf40adb7263e9a344b2318acaf96602c4986ae3)
ce développement ; les
seront des polynômes homogènes du
premier degré par rapport aux ![{\displaystyle \beta ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6bfc20a201c22ff0394eb1f297360609c5d1ea)
D’après ce qui précède,
sera identiquement nul ; mais il faut
voir s’il n’en est pas de même de
Le jacobien des
par rapport aux
est égal à
![{\displaystyle \prod \left(1-e^{k\alpha \mathrm {T} }\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214195b58c68f6b3e3cca1b65095d87cd428aeca)
le produit indiqué par le signe
s’étendant à
facteurs correspondant
aux
exposants caractéristiques ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)