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THÉORIE DES CONSÉQUENTS.

À chaque point $\mathrm {M}$ intérieur à ce tore, correspondront une infinité de systèmes de valeurs de $x_{1},$ $y_{1}$ et $y_{2}\,;$ mais ces systèmes ne seront pas essentiellement distincts les uns des autres, puisqu’on passe de l’un à l’autre en augmentant $y_{1}$ ou $y_{2}$ d’un multiple de $2\pi$ ou en changeant $x_{1}$ en $-x_{1}$ et $y_{1}$ en $y_{1}+\pi .$

Si l’on se donne $x_{1},\,y_{1}$ et $y_{2},$ $x_{2}$ s’en déduira à l’aide de l’équation(2). Supposons que les variables $x$ et $y$ varient conformément aux équations (1), le point $\mathrm {M}$ correspondant décrira une certaine courbe que j’appellerai trajectoire.

Par chaque point intérieur au tore passe une trajectoire et une seule.

Il est aisé de voir quelle est la forme de ces trajectoires pour $\mu =0.$

Pour $\mu =0,$ les équations différentielles se réduisent à

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&=0,&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Les $x_{i}$ sont donc des constantes, ce qui montre que nos trajectoires sont situées sur des tores, et les $y_{i}$ sont des fonctions linéaires du temps ; car

$-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=n_{i},$

ne dépendant que des $x_{i},$ est une constante.

Si le rapport $n_{1}:n_{2}$ est commensurable, les trajectoires sont des courbes fermées ; elles ne sont pas fermées, au contraire, si ce rapport est incommensurable.

Soient $m_{1},\,m_{2},\,p_{1},\,p_{2}$ quatre entiers tels que

$m_{1}p_{2}-m_{2}p_{1}=1\,;$

posons

${\begin{alignedat}{5}y_{1}'&=&{}{}&m_{1}y_{1}&{}+{}&m_{2}y_{2},\\y_{2}'&=&{}{}&p_{1}y_{1}&{}+{}&p_{2}y_{2},\\x_{1}'&=&{}{}&p_{2}x_{1}&{}-{}&p_{1}x_{2},\\x_{2}'&=&{}-{}&m_{2}x_{1}&{}+{}&m_{1}x_{2}.\end{alignedat}}$

L’identité

$x_{1}'y_{1}'+x_{2}'y_{2}'=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}$

montre qu’en passant des variables $x_{i},\,y_{i}$ aux variables $x_{i}',\,y_{i}',$ on n’altère pas la forme canonique des équations.