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CHAPITRE XXII.
Considérons alors les équations
(1)
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où
sont des fonctions données de
si l’on savait les intégrer, on connaîtrait
en fonctions
de
et de leurs valeurs initiales
Nous pouvons,
pour conserver le même langage, appeler point
le système de
valeurs
et point
le système de valeurs
![{\displaystyle \ldots ,\,x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938c9c015a00c0f99fa779d42337757c14de3027)
Considérons un ensemble de points
formant une variété
et l’ensemble des points correspondants
formant une autre
variété
[1].
Nous supposerons que
et
sont des variétés continues à
dimensions où
Considérons alors une intégrale d’ordre
(2)
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où
est une fonction de
et où
est le produit
de
différentielles prises parmi les
différentielles
![{\displaystyle dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a0541608f757aa70c20f499ca6c71062c1aa07)
Il peut se faire que cette intégrale ait même valeur pour les
deux variétés
et
Nous dirons alors que c’est un
invariant intégral.
Il peut arriver aussi que cette intégrale ait même valeur pour
les deux variétés
et
mais seulement à la condition que ces
deux variétés soient fermées. C’est alors un invariant intégral
par rapport aux variétés fermées.
On peut encore imaginer d’autres espèces d’invariants intégraux.
Supposons, par exemple, que
et que
et
se
- ↑ Le mot variété est maintenant assez usité pour que je n’aie pas cru nécessaire
d’en rappeler la définition. On appelle ainsi tout ensemble continu de points
(ou de système de valeurs) : c’est ainsi que dans l’espace à trois dimensions, une
surface quelconque est une variété à deux dimensions et une ligne quelconque,
une variété à une dimension.