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CHAPITRE XXVI.
La même intégrale étendue au domaine
![{\displaystyle \sum {\frac {m_{i}}{2}}x_{i}'^{2}<\mathrm {R} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563a118d57e9d983d2f2ae70089367039e81a022)
sera évidemment
![{\displaystyle \mathrm {AR} ^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac89b92bf262c01122b9e4a3ab4f002bd5b03fa4)
Étendue au domaine défini par les inégalités (1), elle sera
![{\displaystyle \mathrm {A} \left[\left(\mathrm {V} +h+\varepsilon \right)^{\frac {n}{2}}-\left(\mathrm {V} +h-\varepsilon \right)^{\frac {n}{2}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a310b1aea453cd1cbce5be39b85cc523f2e852f)
ou, puisque
est très petit,
![{\displaystyle n\mathrm {A} \varepsilon \left(\mathrm {V} +h\right)^{{\frac {n}{2}}-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3fbf3624d77b759ad9dfc6edde5dc361a18f8d)
Notre invariant intégral est donc égal à
(2)
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l’intégration devant être étendue à tous les points tels que
soit positif.
D’après mon hypothèse, le domaine
est limité.
Il sera alors aisé de reconnaître si l’intégrale (2) est finie ou infinie.
Elle sera toujours finie si
car alors l’exposant de
est nul.
Supposons maintenant que
soit
et que
devienne
infiniment grand d’ordre
quand la distance des deux points
et
devient infiniment petite du premier ordre.
Alors la quantité sous le signe
dans l’intégrale (2) est de l’ordre
![{\displaystyle p\left({\frac {n}{2}}-1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9cdb33b03fcd275ba59ce25e4043c9febccc55c)
La variété
![{\displaystyle x_{1}=x_{4},\qquad x_{2}=x_{5},\qquad x_{3}=x_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9ef7b8128fa0c39171375ac74df8bf46d4ad3d)
a
dimensions ; l’intégrale est d’ordre
la condition pour
que l’intégrale soit finie s’écrit donc
![{\displaystyle n-(n-3)>p\left({\frac {n}{2}}-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4038b354a365b6ba1a0393a9bdb6fa25df7d7f16)