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CHAPITRE XXVI.
Intégrons d’abord par rapport à
Il faut calculer l’intégrale
![{\displaystyle \int \rho \,d\rho ={\frac {\rho ^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b348642580f64203107acbcfb5575e8745ff2889)
prise entre les limites
et
![{\displaystyle \rho ={\sqrt {2\left(\mathrm {H} +\varepsilon +{\frac {m_{2}}{r_{2}}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c676e3485082c1dfed8b3699aa68eaf2d95bcc8f)
ce qui donne ![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
L’intégrale (2 ter) se réduit donc à
![{\displaystyle 4\pi ^{2}\varepsilon \int _{0}^{\alpha }r_{2}\,dr_{2}=2\pi ^{2}\varepsilon \alpha ^{2}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b827918b4980a938b817e7aa3bbbc83c5c458fa9)
elle est donc finie.
Les théorèmes démontrés plus haut s’appliquent donc au cas
qui nous occupe. La masse nulle repassera une infinité de fois
aussi près que l’on voudra de sa position initiale, si l’on n’est
pas placé dans certaines conditions initiales exceptionnelles dont
la probabilité est infiniment petite.
Si donc, dans le problème restreint, on suppose que les conditions
initiales soient telles que le point
doive rester à l’intérieur
d’une courbe fermée
ou
la première des
conditions de la stabilité telles qu’elles ont été définies au no 290 se trouve
remplie.
Mais de plus la troisième l’est également : il y a donc stabilité à la Poisson.
300.Le résultat serait évidemment le même quelle que soit la
loi d’attraction.
Si, en effet, le mouvement d’un point matériel
est régi par
les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }},&{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8e3e4f3710bac84aa948970add78a54da38986)
ou dans le cas du mouvement relatif par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-2n\,{\frac {d\eta }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }},\\{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+2n\,{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c23f34f09f66367a63d322d1f2adbe870a4290d)