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STABILITÉ À LA POISSON.
(Les équations trop longues pour tenir sur une ligne ont été mises sur 2 lignes)
courbe
étant fermée,
et
sont limités ; l’intégrale ne peut
donc devenir infinie que si
et
sont infinis. Mais, à cause des
inégalités (5),
et
ne peuvent devenir infinis que si
![{\displaystyle \mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b14a003fa6ca32b264599d228a101ad82a243e)
devient infini, ou, puisque
et
sont limités, si
devient infini.
Or
devient infini pour
et pour
Mais, comme
le point
est extérieur à
nous n’avons qu’à examiner le
cas de
![{\displaystyle r_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babc5ed3d7806cecb22401f06480c41e4ef6c516)
Évaluons donc la portion de l’intégrale qui est voisine du
point
Si
est très petit,
est sensiblement égal
à
le terme
est aussi sensiblement constant ; de sorte
que, si nous posons
![{\displaystyle h+{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})+{\frac {m_{1}}{r_{1}}}=\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307d9bb3295e753580b583e2348e08013784905e)
pourra être regardée comme une constante.
Si alors nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\xi -\mathrm {O} m_{2})&=r_{2}\cos \omega ,&\eta &=r_{2}\sin \omega \,;\\\xi '&=\rho \cos \varphi ,&\eta '&=\rho \sin \varphi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c515506703f37cb0d63c02b08d3153160f276106)
les inégalités (5) deviendront
(5 bis)
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et l’intégrale (2) deviendra
(2 bis)
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Nous adjoindrons aux inégalités (5 bis) l’inégalité
![{\displaystyle r_{2}<\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02c85e783540c16012cb4988337de45cbbc3145)
étant très petit, puisque c’est la partie de l’intégrale voisine
de
qu’il s’agit d’évaluer et que l’autre partie est certainement
finie.
Si nous intégrons d’abord par rapport à
et à
l’intégrale (2 bis) deviendra
(2 ter)
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