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STABILITÉ À LA POISSON.
294. L’ensemble
tel qu’il a été défini dans le no 291 (de même
que l’ensemble
considéré dans le numéro précédent), peut se
composer d’un seul point (quoique, bien entendu, il y ait toujours
une infinité de molécules qui traversent
une infinité de fois).
Il peut se composer d’un nombre fini de points ou d’un nombre
infini de points discrets.
On pourrait aussi supposer que cet ensemble
possède un
volume fini ; voyons quelles seraient les conséquences de cette
hypothèse. Raisonnons sur l’ensemble
défini dans le no 291.
Je considère la suite des nombres entiers
![{\displaystyle \alpha ,\quad \beta ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90dcbe0762368163f3f50bdd7a3ea64dd8a4be1c)
définis dans ce numéro et je dis que l’on a
![{\displaystyle \beta \geqq \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ad1282b363f1fb7a06f13ca01ac6de1f1ee7f2)
En effet,
est le premier des conséquents de
qui a une
partie commune avec
est le premier des conséquents de
qui a une partie commune
avec
Mais
fait partie de
et
de
Si donc
a une partie
commune avec
c’est que
est un des conséquents de
qui
a une partie commune avec
Cela entraîne l’inégalité
![{\displaystyle \alpha \leqq \beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11134d827528bd17baa739ff28fe994a33cf6521)
On trouverait de même
![{\displaystyle \beta \leqq \gamma \leqq \delta \leqq \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c9b9f519aec0c41b310f71384ee332abdcb120)
Les nombres
vont donc toujours en croissant, ou,
du moins, ne décroissent jamais.
D’autre part, nous avons, d’après le no 291,
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+\alpha &<{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {U} _{0}}}\,;&1+\beta &<{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {U} _{0}'}}\,;&1+\gamma &<{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {U} _{0}''}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93d6ef678808d057eb16b7b9e311c8375cff5c6)
On a évidemment
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}>\mathrm {U} _{0}'>\mathrm {U} _{0}''>\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1dcb4ede6f9dde56957ad5783c205450ea3dbd)
et, si
a un volume fini que j’appelle aussi
il vient, quel que
soit ![{\displaystyle p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393fcf18074cb42eafb26b76c515a1e93e17512c)
![{\displaystyle \mathrm {E} <\mathrm {U} _{0}^{(p)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddfe7a9412702d0d09fbf9d8c641ea28d0470166)
puisque
fait partie de ![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}^{(p)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ee5ed302698ab87cd95ed8cd071e32f95d412e)