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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
(Les équations trop longues pour tenir sur une ligne ont été mises sur 2 lignes)
divers termes du Tableau (8 bis) correspondent les termes suivants
(10 bis)
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Faisons d’abord disparaître les termes en
L’ensemble de ces termes est une forme quadratique par rapport à
![{\displaystyle \delta \alpha _{0},\quad \delta \alpha _{1},\quad \ldots ,\quad \delta \alpha _{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da89362dba5e47c0fe02483ceef9b28a9359b72)
Cette forme quadratique doit être identiquement nulle.
Le coefficient de
devra donc être nul. Or, il y a quatre
termes qui pourraient introduire le produit
ce sont les
termes en
![{\displaystyle f_{k}'f_{j}'\,\delta f_{k}\,\delta f_{j},\quad f_{k}'f_{j}\,\delta f_{k}\,\delta f_{j}',\quad f_{k}f_{j}'\,\delta f_{k}'\,\delta f_{j},\quad f_{k}f_{j}\,\delta f_{k}'\,\delta f_{j}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7901ac3f66916d0d6436701ce882e832f1985c6)
Désignons pour abréger ces quatre expressions par
l’ensemble de nos quatre termes s’écrira alors
![{\displaystyle \psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2}+\psi _{3}\omega _{3}+\psi _{4}\omega _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41d79e2d28e53ae5b335dee9be483b45f959991)
et
étant développables suivant les puissances
des
et de
Pour que le coefficient de
disparaisse
on devra avoir identiquement
![{\displaystyle \psi _{1}+\psi _{2}+\psi _{3}+\psi _{4}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88630ce8995aa48c2252ce335731c51509c3a0b9)
De même le coefficient de
devra s’annuler ; or il provient
des termes en
![{\displaystyle \delta f_{k}\,\delta f_{k}',\quad f_{k}^{2}\,\delta f_{k}'^{2},\quad f_{k}'^{2}\,\delta f_{k}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39590df0ae77c91264f1632c7a7aec378a0fdbb)
Désignons pour abréger ces trois expressions par
et
l’ensemble des trois termes par
![{\displaystyle \psi _{1}'\omega _{1}'+\psi _{2}'\omega _{2}'+\psi _{3}'\omega _{3}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa08b1b38eb2a2a5291aacaae933185c51579e5)
étant développables, suivant les puissances des
et de ![{\displaystyle \Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393f758b245feec1da90af1c2b4dfbbdab096d9f)