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CHAPITRE XXV.
bilinéaire par rapport à
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\delta f_{k},&\delta f_{k}',&\delta \Phi ,&\delta \Theta ,\\\delta '\!f_{k},&\delta '\!f_{k}',&\delta '\!\Phi ,&\delta '\!\Theta .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f1c82fe7d01e5221547e025eeace8ea14a534f)
De plus, quand on y remplace
par leurs valeurs (7),
cette expression doit devenir indépendante de
Or le temps
pourrait s’y introduire de trois manières :
1o Sous la forme exponentielle ;
2o Sous la forme de cosinus ou sinus des multiples de
3o En dehors des signes exponentiels et trigonométriques (et,
comme nous allons le voir, au second degré au plus).
Il ne doit y entrer d’aucune de ces trois manières.
1o Pour qu’il n’y entre pas sous la forme exponentielle, il faut
et il suffit que l’expression soit linéaire par rapport aux quantités
suivantes analogues à (4)
(8)
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les coefficients étant développables suivant les puissances des
et de ![{\displaystyle \Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393f758b245feec1da90af1c2b4dfbbdab096d9f)
2o Pour que
n’y entre pas sous la forme trigonométrique, il
faut et il suffit que notre expression ne dépende pas de
mais
seulement de ses variations
3o Il nous reste à déterminer la condition pour que
n’y entre
pas en dehors des signes exponentiels et trigonométriques. Remarquons
que l’on a
(9)
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Nous distinguerons dans notre expression des termes de cinq
sortes, selon qu’ils contiendront en facteur une quantité (8) figurant
dans la première, deuxième, troisième, quatrième ou cinquième
ligne du Tableau (8).
Cela posé, si nous remplaçons
par leurs valeurs (9),