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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
guées
sont les composantes de leurs quantités de mouvement.
Nous nous proposerons d’étudier les invariants intégraux algébriques
par rapport aux
et aux
et de voir, s’il peut en exister
d’autre que celui qui est connu et qui s’écrit
![{\displaystyle \iint {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9fb40419f0c67b3562ce7fdb98c346f5703010e)
Nous avons vu que, dans le voisinage d’une solution périodique,
les
et les
peuvent se développer suivant les puissances
des
Nous allons de nouveau envisager ces développements ;
mais nous pourrons supposer que la valeur de la constante
des forces vives qui correspond à la solution périodique est nulle,
de sorte que les développements procéderont non seulement suivant
les puissances des
mais encore suivant celles de
Ils
dépendront en outre de ![{\displaystyle t+h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1f343678941ecd1cdc60f66b499d7e594200a2)
En égalant les
et les
à ces développements, on obtient
équations, que nous allons résoudre par rapport aux
à
et à
Il vient
(7)
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Nous remarquerons que
comme
est développable suivant
les puissances de
et des
et l’on voit que
sont des fonctions uniformes des
et des
dans le voisinage
de la solution périodique. De plus, les
et les
peuvent
se développer suivant les puissances des
des
et de
et suivant
les sinus et les cosinus des multiples de
D’autre part l’expression
(3)
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qui correspond à l’invariant (2) ou les expressions analogues qui
correspondraient à un autre invariant bilinéaire de la forme (5)
devra être développable suivant les puissances des
et