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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Or on a évidemment
![{\displaystyle \delta \mathrm {A} e^{\alpha t}=e^{\alpha t}\left(\delta \mathrm {A} +t\;\delta \alpha \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10c75a3a7667b47136b584a4ce542eecba2ef52)
D’autre part
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\delta x_{i}&={\frac {dx_{i}}{d\mathrm {C} }}\,\delta \mathrm {C} &{}+{}&{\frac {dx_{i}}{dh}}\,\delta h+\sum {\frac {dx_{i}}{d(\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{i}t})}}\,\delta \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{i}t}\\[0ex]&&&\qquad \quad +\sum {\frac {dx_{i}}{d(\mathrm {A} _{k}'e^{-\alpha _{i}t})}}\,\delta \mathrm {A} _{k}e^{-\alpha _{i}t},\\\delta \alpha &={\frac {d\alpha }{d\mathrm {C} }}\,\delta \mathrm {C} &{}+{}&\sum {\frac {d\alpha }{d(\mathrm {A} _{k}\,\mathrm {A} _{k}')}}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\,\mathrm {A} _{k}').\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6dc54aecfe49adc07ef0b5566d17d6810b8b926)
On voit ainsi que
et
sont de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta y_{i}&=\eta _{i}+t\,\eta _{1.i}\,;&\delta '\!y_{i}&=\eta _{i}'+t\,\eta _{1.i}'\\\delta x_{i}&=\xi _{i}+t\,\xi _{1.i}\,;&\delta '\!x_{i}&=\xi _{i}'+t\,\xi _{1.i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2bd51c8ac8bb624413ae2f189f34f61e43e343)
où
sont linéaires par rapport à
et aux
et d’autre part développables suivant les puissances des
et des
et suivant les sinus et les cosinus des multiples
de
On trouverait aisément les expressions de
il suffit de changer
en
dans celles de
et
On voit alors
que l’on pourra écrire l’équation (3) sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {D} +\mathrm {E} \,t+\mathrm {F} \,t^{2}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc01575842212abb01b556d8b58d26e3ddbff277)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{i}\eta _{i}'-\xi _{i}'\eta _{i}),\\\mathrm {E} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{i}\eta _{1.i}'-\xi _{i}'\eta _{1.i}+\xi _{1.i}\eta _{i}'-\xi _{1.i}'\eta _{i}),\\\mathrm {F} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{1.i}\eta _{1.i}'-\xi _{1.i}'\eta _{1.i})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7593519576b9881fb1e7791cabcf9c215aa48daf)
sont développés suivant les puissances des
et les
sinus et cosinus des multiples de
et sont d’autre part
bilinéaires par rapport aux
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\delta \mathrm {A} e^{\alpha t},&\delta \mathrm {A} 'e^{-\alpha t},&\delta \mathrm {C} ,&\delta h,\\\delta '\!\mathrm {A} e^{\alpha t},&\delta '\!\mathrm {A} 'e^{-\alpha t},&\delta '\!\mathrm {C} ,&\delta '\!h.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f808f29eb58fbc2c4ade2ef356d18f4279bac907)
Le premier membre devant être indépendant de
nous aurons
d’abord
![{\displaystyle \mathrm {E} =\mathrm {F} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f885ee44a9d47e6a647372a1755af0750c68ae6)
ce qui nous fournit déjà certaines relations de vérification
auxquelles doivent satisfaire les développements des
et des ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)