109
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
sances de
de trois constantes
et
de
de
de
Les constantes
et
sont elles-mêmes développables suivant les puissances de
et
277.Passons au second mode de généralisation et supposons
qu’on veuille étudier les équations dans le voisinage d’une véritable
solution périodique mise sous la forme
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=y_{1}=y_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee3a569e11e53e048927346c583f1fdc821d177)
Nous poserons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} &=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ',&x_{1}&=\varepsilon \,x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon \,y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon \,x_{2}',&y_{2}&=\varepsilon \,y_{2}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23e12c7a8a92f1a6680c602e959a21f4d3dc213)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=\varepsilon ^{2}x_{3}',&y_{3}&=y_{3}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f7399a29253afd0fbb27176f56843cfb7ca5b0)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7014d5c617c12fc93bb353e042f89a69a4bc4b7)
Les équations restent canoniques et l’on a
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}'=hx_{3}'+\Phi (x_{1}',y_{1}',x_{2}',y_{2}'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2cfe1638d35f19422d9c7f09207c8cc5d773339)
étant une forme quadratique homogène en
les
coefficients de
et
sont des fonctions périodiques de ![{\displaystyle y_{3}=y_{3}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2d0c166ad44d1d1b88d4289a7927bceeffe198)
Nous supprimerons désormais les accents devenus inutiles et
nous écrirons simplement
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=hx_{3}+\Phi (x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce2910f32cb6df691530ac627a2f6a3e5f2540c)
On démontrerait comme aux nos 274 et 276 que l’on peut toujours
supposer que
se réduit à une constante.
Envisageons maintenant les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy_{3}}{dt}}&=-h,&{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{1}}},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c44f30d223a72541974584cc03388aa0819894c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{2}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{2}}},&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a599a3a777fef585c7b2acf47f64b28085bd322)
Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. Leur solution
générale sera donc de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.1}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.1}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.1}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.1},\\y_{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.2}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.2}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.2}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.2},\\x_{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.3}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.3}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.3}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.3},\\y_{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.4}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.4}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.4}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d486f319d860fbb628f301f5a5be1b4c7ea5014)