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CHAPITRE XXV.
périodiques de
et
On peut donc regarder comme connus
et
![{\displaystyle s_{1}-[s_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bffb94f2c5d0d3f6f7056891a307ba0fdb3323)
.
Venons aux équations (4 bis 2) et égalons les valeurs moyennes
des deux membres, on obtiendra deux équations d’où l’on pourra
tirer
et
Les valeurs moyennes des deux membres étant égales, les équations (4 bis 2)
nous donneront
et
à des constantes près sous
la forme de fonctions périodiques de
et
Et ainsi de suite.
Comme nous avons trouvé pour
deux valeurs, les
équations (4 bis) admettront deux solutions. Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=a,&z&=\varphi ,&s&=\varphi _{1},\\a&=-a,&z&=\psi ,&s&=\psi _{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a690f627c8dfc8d531d5936ff47dce737050cc7)
ces deux solutions. La solution générale des équations (4) sera
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x_{1}&=\mathrm {A} e^{at}\varphi &{}+{}&\mathrm {B} e^{-at}\psi ,\\y_{1}&=\mathrm {A} e^{at}\varphi _{1}&{}+{}&\mathrm {B} e^{-at}\psi _{1}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7373ad4c6fb127e6277c08c98151e123a0ecb338)
On peut toujours supposer
![{\displaystyle \varphi \psi _{1}-\varphi _{1}\psi =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aed1688c8e01da88f77285dfb5d985e0c122f0f)
On verrait alors, comme au no 274, que si l’on pose
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'\varphi +y_{1}'\psi ,&y_{1}&=x_{1}'\varphi _{1}+y_{1}'\psi _{1},\\x_{2}&=x_{2}'+\mathrm {H} _{2}x_{1}'^{2}+2\mathrm {K} _{2}x_{1}'y_{1}'+\mathrm {L} _{2}y_{1}'^{2},&y_{2}&=y_{2}',\\x_{3}&=x_{3}'+\mathrm {H} _{3}x_{1}'^{2}+2\mathrm {K} _{3}x_{1}'y_{1}'+\mathrm {L} _{3}y_{1}'^{2},&y_{3}&=y_{3}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f8732851ab544915d8662a41a18f731869b99b)
et si
sont des fonctions périodiques convenablement
choisies de
et
la forme canonique des équations
ne sera pas altérée.
La forme de
ne sera pas non plus altérée ; mais
se réduirait
à une constante,
et
à 0.
On peut donc toujours supposer
![{\displaystyle \mathrm {B} =\mathrm {const.} ,\qquad \mathrm {A} =\mathrm {C} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8abd17604d3bb918d19d4814cf35d073655d680)
Le reste du calcul s’achèverait comme aux nos 274 et 275 et l’on
arriverait finalement à la conclusion suivante :
Les variables
et
peuvent se développer suivant les puis-