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CHAPITRE XXV.

Les équations deviendront

(4 bis)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}h_{2}\,{\frac {dz}{dy_{2}}}&{}+{}&h_{3}\,{\frac {dz}{dy_{3}}}&{}-{}&az&=-&&2(\mathrm {B} z+\mathrm {C} s),\\h_{2}\,{\frac {ds}{dy_{2}}}&{}+{}&h_{3}\,{\frac {ds}{dy_{3}}}&{}-{}&as&=&&2(\mathrm {A} z+\mathrm {B} s).\end{alignedat}}\right.$

Développons $\mathrm {A,\,B,\,C}$ suivant les puissances de $\mu$ sous la forme

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {A} &=\mathrm {A} _{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {A} _{1}&{}+{}&\ldots ,\\\mathrm {B} &=\mathrm {B} _{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {B} _{1}&{}+{}&\ldots ,\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {C} _{1}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}$

Remarquons que $\mathrm {A} _{0}$ est une constante et que $\mathrm {B} _{0}=\mathrm {C} _{0}=0.$ Développons de même $h_{2}$ et $h_{3}$

$h_{i}=h_{i}^{0}+\mu \,h_{i}^{1}+\ldots .$

Les coefficients de ces développements sont des quantités connues. Développons d’autre part les inconnues $z,$ $s$ et $a$ suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ sous la forme

${\begin{aligned}a&=a_{1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+a_{2}\,\mu +a_{3}\,\mu {\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\ldots ,\\z&=z_{1}\,{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+z_{2}\,\mu +z_{3}\,\mu {\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\ldots ,\\s&=s_{0}+s_{1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+s_{2}\,\mu +\ldots .\end{aligned}}$

Afin de présenter les équations sous une forme plus symétrique, j’écrirai le développement de $\mathrm {A}$ sous la forme

$\mathrm {A} =\mathrm {A} _{0}+\mathrm {A} _{1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\mathrm {A} _{2}\,\mu +\mathrm {A} _{3}\,\mu \,{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\mathrm {A} _{4}\,\mu ^{2}+\ldots .$

Il faudra seulement se rappeler que $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {A} _{3},$ $\mathrm {A} _{5},\,\ldots$ sont nuls. De même pour les développements de $\mathrm {B}$ et de $\mathrm {C} .$

Cela posé, j’égale dans les équations (4 bis) les coefficients des puissances semblables de $\mu .$ J’appellerai (4 bis p) les deux équations obtenues en égalant d’une part les coefficients de $\mu ^{\frac {p+1}{2}}$ dans la première équation (4 bis) et, d’autre part, les coefficients de $\mu ^{\frac {p}{2}}$ dans la seconde équation (4 bis).

Les équations (4 bis 0) et (4 bis 1) détermineront $a_{1},$ $s_{0}$ et $z_{1}$ ;

Les équations (4 bis 1) et (4 bis 2) détermineront $a_{2},$ $s_{1}$ et $z_{2}$ ;

Les équations (4 bis 2) et (4 bis 3) détermineront $a_{3},$ $s_{2}$ et $z_{3},$

et ainsi de suite.