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CHAPITRE XXV.
Si nous posons un instant
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}-(n_{1}t+\varpi _{1})&=z_{2},&v-(n_{2}t+\varpi _{2})&=z_{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfb4a3ae9d66c752f1f719bc68c4193f2ccc2db)
les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\beta _{0}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153028f2fd1911a30b4f5f05aeb7ededdc956232)
prendront la forme
(3)
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et
étant développables selon les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm i(n_{1}t+\omega _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad z_{2},\quad z_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f04b5ffd0edfb7b8512a23f8874e993cdd75a83)
[et, en effet, on a par exemple
![{\displaystyle {\sqrt {\beta _{0}}}e^{v}={\sqrt {\beta _{0}}}e^{n_{2}t+\varpi _{2}}\left(1+{\frac {z^{3}}{1}}+{\frac {z_{3}^{2}}{1.2}}+{\frac {z_{3}^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cab29a49aedf604b42f4121aa2715846ddc3bc4)
et des formules analogues pour
et
].
Il suffit alors, pour démontrer la proposition énoncée, d’appliquer
aux équations (3) le théorème du no 30.
Comparons maintenant le résultat obtenu avec celui du Chapitre VII que j’ai rappelé au début du présent Chapitre.
Nous avons vu dans ce Chapitre VII que, dans le voisinage de
la solution périodique
![{\displaystyle x_{1}=y_{1}=x_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f96b6cfe2dd7a5e4d08cd29a6bccdb7ce5eb59)
les variables
sont développables suivant les puissances de
et
![{\displaystyle t\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372a7638fb4aa6cc6310fa655bbb99a04f7952fb)
sont des constantes d’intégration ;
et
sont des constantes
absolues, dépendant seulement de la période de la solution
périodique et de ses exposants caractéristiques.
Nous venons de voir que ces mêmes variables doivent être
développables suivant les puissances de
![{\displaystyle e^{\pm i(n_{1}t+\omega _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dcb6573be059a0b43dc10954a7ebe8dfa066374)
Les deux résultats sont évidemment d’accord ; en effet, nous pouvons d’abord poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} &={\sqrt {\beta _{0}}}e^{\varpi _{2}},&\mathrm {A} '&={\sqrt {\beta _{0}}}e^{-\varpi _{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23e1064f164aa84900775523a0e4ff79549afb4)