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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
et définissons une fonction
par l’équation de Jacobi
![{\displaystyle \mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv}};y_{2},v\right)=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea980d59f7b5d5ddebbbc5aa3169b08b1647951d)
étant une constante. Développons
et
suivant les puissances
de ![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {S} &=\mathrm {S} _{0}&{}+&{}\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}&{}+&{}\varepsilon ^{2}\mathrm {S} _{2}&{}+&{}\ldots ,\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+&{}\varepsilon \,\mathrm {C} _{1}&{}+&{}\varepsilon ^{2}\mathrm {C} _{2}&{}+&{}\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38ea3b0783c1c5b48e4fbaa97735ccbe3bd71a3)
Nous aurons pour déterminer
par récurrence,
les équations suivantes
(2)
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|
|
Je désigne, comme je l’ai déjà fait bien des fois, toute fonction
connue par
dans la seconde équation (2) je regarde
comme
connue ; dans la troisième je regarde
et
comme connues et
ainsi de suite.
Nous prendrons
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\alpha _{0}y_{2}+\beta _{0}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759f20cef173558b9cb542501be4cf85086d646b)
avec la condition
![{\displaystyle \alpha _{0}+2\,\mathrm {B} \,\beta _{0}=\mathrm {C} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ce21b6888159eebbc4a7ef2f46f5d93fc72864)
Comme
est arbitraire, les deux constantes
et
peuvent
être choisies arbitrairement. Il importe toutefois de ne pas
prendre
Voici pourquoi.
Supposons qu’on ait démontré que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\varepsilon \,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\ldots +\varepsilon ^{p}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dv}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc871ee2bd26dd7c196ad96a8d48ec794eba050)
est développable suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad e^{\pm v},\quad e^{\pm iy_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2801780c633cb0f28295b0d778fa3bc2f9f252)
nous pourrons (si
n’est pas nul) en conclure qu’il en est de
même de
![{\displaystyle {\sqrt {{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\varepsilon \,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\ldots +\varepsilon ^{p}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dv}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c866e6766b7b204bd0618468ce090aff737711)