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CHAPITRE XXV.
Il suffit donc, pour que la forme canonique des équations ne
soit pas altérée, de prendre
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\mathrm {H} &=\varphi _{1}\varphi '-\varphi \varphi _{1}';&2\mathrm {K} &=\varphi _{1}\psi '-\varphi \psi _{1}';&2\mathrm {L} &=\psi _{1}\psi '-\psi \psi _{1}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c3824945b5d4629c4e7e4ed5043aa43dabc809)
On voit que
sont des fonctions périodiques de
d’où
il suit que la forme de la fonction
ne sera pas non plus altérée.
Mais, si nous supposons
nos équations doivent admettre
comme solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}'&=\alpha e^{+ay_{1}};&y_{1}'&=\beta e^{-ay_{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7116069d3db02662015be6c2a7570bc7a7dcb208)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} &=-{\frac {a}{2}},&\mathrm {A} &=\mathrm {C} =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b67faaa59d50b7a9dd8db425bf183a43f003dc9)
Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} &=1,&\mathrm {A} &=\mathrm {C} =0,&\mathrm {B} &=\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9adaa99fb2ce41f9bde82cda2f58fc3bd4d82b)
d’où (puisque nous avons supprimé les accents)
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=x_{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f42a2c305d66fc34a5c3d63c4008b2cce76087)
C’est ce que nous ferons désormais.
Faisons encore un changement de variables en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}y_{1}&=u,&\log {\frac {y_{1}}{x_{1}}}&=2v.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f959d593d55adf0d9fca90c2868f002f09e9c07d)
Comme
![{\displaystyle x_{1}\,dy_{1}-u\,dv={\frac {d(x_{1}y_{1})}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e4ae11143bc6480dee3bf5ba34a68ee86e6ef1)
est une différentielle exacte, la forme canonique ne sera pas altérée.
Il vient d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=e^{v}{\sqrt {\overset {}{u}}},&y_{1}&=e^{-v}{\sqrt {\overset {}{u}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed185147a4aa9a3cc5eab09129ed25eb6ba41eb3)
La fonction
est alors développable suivant les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ,\quad x_{2},\quad {\sqrt {\overset {}{u}}},\quad e^{v},\quad e^{-v},\quad e^{iy_{2}},\quad e^{-iy_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17efc9bf7e0f2e5446e1882a2eec81cd43ad5f1d)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=x_{2}+2\mathrm {B} u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad7ff1f63da43699fd471b9fc40bef1f44e8077)
Mettons donc
sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{2},u;y_{2},v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9831754c1bd2ace6ec65ba7410deaffc09b69e4f)