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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy_{2}}{dt}}=-1;\qquad {\frac {dx_{1}}{dt}}&=-{\frac {dx_{1}}{dy_{2}}}=2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1})\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {dy_{1}}{dy_{2}}}=-2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bdc50ab2930a3bde106d981c0dc341c832a033)
et une équation en
que je puis remplacer par l’équation des
forces vives
![{\displaystyle x_{2}+\mathrm {A} x_{1}^{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}+\mathrm {C} y_{1}^{2}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4390058a851c60def7dd95005d6184158ce13310)
Les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dy_{2}}}&=-2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1}),&{\frac {dy_{1}}{dy_{2}}}&=2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066535646979cab31680f96bcf1f0f58df9e8552)
sont des équations linéaires à coefficients périodiques. En vertu
du no 29 elles auront pour solution générale
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=w\varphi +w_{1}\psi &y_{1}&=w\varphi _{1}+w_{1}\psi _{1}\\w&=\alpha e^{ay_{2}},&w_{1}&=\beta e^{by_{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93b14bf743b41946a5c507b99c46d1fe9498622)
où
sont des fonctions périodiques de
et
des
constantes d’intégration ;
et
des constantes.
Il est aisé de voir que
et que
est une constante
que je puis supposer égale à 1.
Cela posé, faisons un nouveau changement de variables en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'\varphi +y_{1}'\psi \,;&y_{1}&=x_{1}'\varphi _{1}+y_{1}'\psi _{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2aca43c040c8090eed7c2c0531d44f84a1a40ca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=x_{2}'+\mathrm {H} x_{1}'^{2}+2\mathrm {K} x_{1}'y_{1}'+\mathrm {L} y_{1}'^{2}\,;&y_{2}&=y_{2}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b246cc01a2ca60fdcd3cecdcacbc552780256c)
étant des fonctions de
choisies de manière que la
forme canonique des équations ne soit pas altérée. Il suffit pour
cela que
![{\displaystyle x_{1}\,dy_{1}-x_{1}'\,dy_{1}'+x_{2}\,dy_{2}-x_{2}'\,dy_{2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4797c71b8dd105c7ab290ad2d538c75bbdfaee2)
soit une différentielle exacte.
Or on voit que
est égal à une différentielle
exacte augmentée de
![{\displaystyle -{\frac {dy_{2}}{\scriptstyle 2}}\left[x_{1}'^{2}(\varphi _{1}\varphi '-\varphi \varphi _{1}')+y_{1}'^{2}(\psi _{1}\psi '-\psi \psi _{1}')+2x_{1}'y_{1}'(\varphi _{1}\psi '-\varphi \psi _{1}')\right];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885b995e0af24cfd2c097c2e3c83fb2e38947294)
désignent les dérivées de
par rapport à ![{\displaystyle y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a3c8c2e01474c1a353aef6bec0e5f0aae6d3a0)