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CHAPITRE XII.
et d’où nous avons déduit, dans ce no 142, la valeur de
rappelons-nous que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\omega +\lambda ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}=\Omega .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e7793ca1e3e1b2b36b51eb1b857a434fe8654b)
Nous verrons que les deux équations sont identiques pourvu que l’on fasse
![{\displaystyle 2\mathrm {V} =\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af4db0e33547657fc91933048c6004600c8e770)
d’où il suit que la constante
n’est autre chose que celle
que nous avons appelée plus haut
et que nous avons regardée
comme étant de l’ordre du carré des excentricités. Le rayon du
cercle qui est
est donc de l’ordre des excentricités et, s’il
est de l’ordre de
c’est-à-dire de
l’origine peut se trouver en
dehors du cercle.
Nous pouvons donc dire que, si dans le no 142 nous avons rencontré
la difficulté que j’ai signalée, c’est parce que nous avions
employé des espèces de coordonnées polaires et parce que nous
en avions mal choisi l’origine. Cette origine doit être prise au
centre du cercle, c’est-à-dire au point qui correspond à la solution
périodique.
Nous sommes donc conduits à changer d’origine en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x-\alpha \cos \lambda ,&y'&=y+\alpha \sin \lambda .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7ec74b088df1dac1d32bc3d6a0dc0c5c3dcc54)
Pour conserver aux équations leur forme canonique, nous devons
maintenant adopter une variable nouvelle
telle que
![{\displaystyle \Lambda '=\Lambda -\alpha (x'\cos \lambda -y'\sin \lambda ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa260767cbb51e321b872a7261db9fbf4db13e12)
Nos variables conjuguées sont alors
![{\displaystyle {\begin{array}{cc}\Lambda ',&x',\\\lambda ,&y',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7e49ad378cfd788fd6057ffde1599ab6173053)
La fonction
qui, par hypothèse, était égale à
![{\displaystyle \Lambda +\mu \,{\sqrt {\Omega }}\cos(\omega +\lambda )+\mu \,\mathrm {A} \,\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265d856198394842086803f4ed297894bdbc06c6)
devient, en fonction des variables nouvelles,
![{\displaystyle \Lambda '+{\frac {\mu \,\mathrm {A} }{2}}({x'}^{2}+{y'}^{2})+{\frac {\mu \,\mathrm {A} \,\alpha ^{2}}{2}}+{\frac {\alpha \mu }{\sqrt {2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297f4d3ac396b545d560bbcb823e968b4980a1cb)